Стрічка Мебіуса - чудеса нашої планети

Стрічка Мебіуса (петля Мьобіуса, лист Мебіуса) - проста на вигляд фігура, але математик сказав би, що це двовимірна поверхня з надзвичайними властивостями: у неї тільки одна сторона і один край, на відміну від звичайного кільця, яке можна згорнути з тієї ж смужки , що і стрічку Мебіуса, але у нього буде дві сторони і два краю. У цьому легко переконатися, якщо намалювати лінію посередині стрічки, не відриваючи олівець від паперу, поки не повернетеся у вихідну точку. Дивно, але факт: за рахунок півоберту смужки її верхній і нижній краї об'єдналися в одну безперервну лінію, а дві сторони перетворилися в єдине ціле і стали однією стороною. І ось результат: потрапити з однієї точки стрічки Мебіуса в будь-яку іншу можна, не переходячи через край.

Біг по стрічці Мебіуса

Мауріц Ешер. Стрічка Мебіуса II. 1963 рік.

Для стороннього спостерігача подорож по стрічці Мебіуса є «біг по колу», повний несподіванок. Його наочно зобразив голландський художник-графік Мауріц Ешер (1898-1972). На картині «Стрічка Мебіуса II» в ролі біжать - мурахи. Простеживши за їх рухом, можна зробити цікаве відкриття. Зробивши один оборот по стрічці, кожен мураха виявиться у вихідній точці, але вже в положенні антипода, - візуально він буде «по той бік» стрічки вниз головою. А що станеться з двовимірним істотою, що рухаються по стрічці Мебіуса? Обійшовши поверхню, воно перетвориться в своє дзеркальне відображення (це легко уявити, якщо вважати стрічку прозорою). Щоб стати самим собою, двовимірному суті доведеться зробити ще одне коло. Ось і мурашки потрібно двічі пройти по стрічці Мебіуса, щоб повернутися в початкове положення.

Науковий курйоз або корисне відкриття

Август Фердинанд Мебіус

Стрічку все ж назвали в честь Мебіуса. Вона стала одним з перших об'єктів топології - науки, що вивчає найбільш загальні властивості фігур, а саме такі, які зберігаються при неперервних (без розрізів і склеювань) перетвореннях: розтягуванні, стисненні, згинанні, скручуванні та ін. Ці перетворення нагадують деформації фігур з гуми, тому топологію інакше називають «гумовою геометрією». Окремі топологічні завдання вирішував ще в XVIII столітті Леонард Ейлер. Початок нової галузі математики поклала робота лістингу «Попередні дослідження по топології» (1847) - перша систематична праця по цій науці. Він же придумав термін «топологія» (від грецьких слів τόπος - місце і λόγος - вчення).

Замальовки, зроблені А. Мебіусом в 1858 році.

Стрічку Мебіуса можна було б вважати науковим курйозом, черговий примхою математиків, якби вона не знайшла практичного застосування і не надихала людей мистецтва. Її не раз зображували художники, їй ставили пам'ятники скульптори і присвячували свої твори письменники. Ця незвичайна поверхню сподобалася архітекторам, дизайнерам, ювелірам і навіть виробникам одягу і меблів. На неї звернули увагу винахідники, конструктори, інженери (наприклад, ще в 1920-і роки були запатентовані аудіо- і кіноплівки в формі стрічки Мебіуса, що дозволяють подвоїти тривалість запису). Але частіше за інших з цією стрічкою мають справу фокусники: їх приваблюють незвичайні властивості, які проявляються при її разрезаніі.Так, якщо розрізати стрічку Мебіуса по середньої лінії, вона не розпадеться на дві частини, як можна було очікувати. З неї вийде більш вузька і довга двостороння стрічка, перекручена двічі (подібну форму має конструкція атракціону «Американські гірки»). А ось «кулінарний фокус»: тістечка у вигляді стрічки Мебіуса здадуться смачніше звичайних, адже на них можна намазати в два рази більше крему! Крім того, є цікаві архітектурні проекти будинків, виконані «в стилі стрічки Мебіуса». Поки вони існують тільки на папері, але, хочеться вірити, неодмінно будуть реалізовані.

«Двозначне» положення

Своїми властивостями стрічка Мебіуса справді нагадує об'єкт із Задзеркалля. Та й сама вона, будучи асиметричною фігурою, має дзеркального двійника. Відправимо прогулятися уздовж стрічки відбиток правої ступні і незабаром виявимо, що додому повернеться відбиток лівої ступні. Забавно, правда? І коли тільки «праве» встигло стати «лівим»? «Вмонтіруем» в стрічку двовимірні годинник і змусимо їх зробити по ній повний оборот. Поглянувши на годинник, ми побачимо, що стрілки на циферблаті рухаються з тією ж швидкістю, але в зворотну сторону! І яке ж із двох напрямків руху правильне?

Поки ви думаєте над відповіддю, зауважу, що математик запропонував би витончений вихід навіть із цього «двозначного» положення. Потрібно, щоб, по-перше, годинник завжди показували один і той же час, а по-друге, стрілки на циферблаті були в положенні, яке збереглося б при дзеркальному відображенні, наприклад стояли вертикально, утворюючи розгорнутий кут.

Ну що, перевіримо відповідь? Насправді на стрічці Мьобіуса не можна встановити певний напрям обертання. Одне і те ж рух можна сприймати і як поворот за годинниковою стрілкою, і як поворот в протилежному напрямку. Коли довільно обрана на стрічці Мьобіуса точка обходить її, один напрямок безперервно переходить в інше. При цьому «праве» невловимо змінюється «лівим». Двовимірне істота ніяких змін в собі не помітить. Зате їх побачать інші такі ж істоти і, звичайно, ми, що спостерігають за тим, що відбувається з іншого виміру. Ось така вона непередбачувана, одностороння поверхню Мебіуса.