стохастична залежність

Величини є статистично незалежними. якщо їх спільна щільність ймовірності дорівнює добутку функцій, відповідних розподілів кожної з величин:

Ми часто будемо опускати індекси і використовувати одну і ту ж букву для позначення різних функцій, відрізняючи їх аргументами.

Для незалежних подій умовна щільність залежить тільки від. Це співвідношення може бути ще одним визначенням незалежності подій. Якщо ймовірність події не залежить від того, відбулося чи ні, то вони незалежні.

Середнє твір незалежних величин дорівнює добутку їх середніх:

незалежних величин нульова. Зворотне може бути і неправильним.

Функція двох випадкових величин і також є випадковою величиною з деяким розподілом. Щоб його знайти, необхідно так перетворити формулу для обчислення середнього від довільної функції, щоб вийшов інтеграл тільки по:

|

Наприклад, якщо і - незалежні гаусові числа з довільними волатильності,, то величина - теж гауссова:

де. У подвійному інтегралі робиться заміна, і проводиться інтегрування по за допомогою гаусового інтеграла. Таким чином, сума двох нормальних чисел виявляється нормально розподіленої величиною.

Нехай і - дві випадкові незалежні величини з довільним розподілом. Розглянемо, що є їхньою сумою. Очевидно, що середнє дорівнює сумі середніх. Знайдемо дисперсію:

де під знаком середнього ми звели в квадрат і ввели волатильності кожної величини, наприклад,. Якщо (!) І незалежні. то ковариация між ними (останній доданок) дорівнює нулю:. отже:

У загальному випадку для суми незалежних величин:

Для доказу необхідно розглянути як одну випадкову величину і, додавши до неї, отримати, і т.д.

Якщо волатильності кожного однакові і рівні, то волатильність їх суми буде збільшуватися з ростом числа доданків, як. Ця залежність у вигляді кореня виключно важлива і лежить в основі всіх тих властивостей шуму Noise. який ми плануємо додавати до детермінованим диференціальних рівнянь.

Звернемо увагу, що отриманий результат (1.21) не залежить від виду розподілу величин. Вони можуть бути навіть різними. Головне - вони повинні бути незалежними.

Аналогічний результат ми отримали і для суми двох незалежних розподілених по Гауса чисел. Однак при цьому щільність ймовірності суми також виявилася гаусом. Випадкова величина називається нескінченно ділимо. якщо її можна представити у вигляді суми незалежних випадкових чисел, що мають такий же розподіл, як і (але можливо, з іншими параметрами). Прикладом нескінченно діленого розподілу є щільність ймовірності Гаусса, а також розподілу Коші і гамма - функції, що розглядаються в наступному розділі.

Насправді для нескінченної подільності досить, щоб у всіх трьох величин в було однакове розподіл. При цьому, природно, мається на увазі однакова функціональна форма розподілу. Його параметри (зокрема, волатильність) будуть різними. Взагалі, для довільно розподілених чисел їх сума має розподіл, відмінне від розподілу кожного з доданків. Однак (1.21) для незалежних величин виконується в будь-якому випадку і є дуже загальним результатом.