Спектр оператора, математика, fandom powered by wikia
Конечномерного випадок Правити
Квадратну матрицю n × n можна розглядати як лінійний оператор в n-вимірному просторі, що дозволяє перенести на матриці «операторні» терміни. У такому випадку говорять про спектр матриці.
Загальне визначення Правити
Нехай A - оператор, який діє в банаховому просторі E над полем k. Число λ називається регулярним для оператора A. якщо оператор, званий резольвенти оператора A. визначений на всьому E і безперервний. Безліч регулярних значень оператора A називається резольвентних безліччю цього оператора, а доповнення резольвентних безлічі - спектром цього оператора. Спектр оператора являє собою непорожній [1] компакт в k. Зазвичай в якості k розглядають комплексну площину.
Усередині спектра оператора можна виділяти частині, що не однакові за своїми властивостями. Однією з основних класифікацій спектра є наступна:
- дискретним (точковим) спектром називається безліч всіх власних значень оператора A - тільки точковий спектр присутній в скінченномірному випадку;
- безперервним спектром називається безліч значень, при яких резольвента визначена на усюди щільному безлічі в E. але не є безперервною;
- залишковим спектром називається безліч точок спектра, що не входять ні в дискретну, ні в безперервну частини.
Максимум модулів точок спектра оператора A називається спектральним радіусом цього оператора і позначається через. При цьому виконується рівність.
У комплексному випадку резольвента є голоморфної операторнозначной функцією на резольвентних безлічі. Зокрема, при вона може бути розкладена в ряд Лорана з центром в точці.
- ↑ За умов:
- По-перше, поле k є алгебраїчно замкнутим (наприклад, поле комплексних чисел);
- По-друге, простір E має розмірність більше нуля.