Складання системи рівнянь

§ 120. Знаходження відсотків даного числа.

Ми вже займалися вирішенням завдань на відсотки. Тепер ми розглянемо кілька ускладнені завдання на відсотки і вкажемо деякі інші способи їх вирішення. У розташуванні завдань ми будемо дотримуватися колишнього порядку.

Розглянемо завдання, в яких потрібно знайти кілька відсотків від даного числа.

Завдання 1. Ціна друкарської машинки, яка коштувала 1200 руб. знизилася на 8,5%. На скільки рублів подешевшала машинка?

В задачі потрібно знайти 8,5% від 1 200. Число відсотків виражено десятковим дробом. З цієї дробом потрібно виконати наступні дії: 1% означає 0,01, а половина відсотка (0,5%) позначає половину від 0,01, т. Е. 0,005. Отже, 8,5% є не що інше, як 0,085.

Тому рішення задачі буде мати наступний вигляд:

1 200 • 0,085 = 102 (грн.).

Завдання 2. Для токаря встановлено норму виробітку - 500 деталей в день, але він перевиконує норму. У перший день він виконав 105% норми, в другий день - 107%, в третій день - 110%, в четвертий день-106% і в п'ятий день - 108%. Скільки деталей він виготовив в кожен з цих днів?

Відмінність цього завдання від раніше зустрічалися полягає в тому, що тут потрібно знайти від числа більше, ніж 100%.

Приступимо до вирішення цього завдання. Обчислимо вироблення робочого в перший день.

У задачі сказано, що в перший день він виконав 105% норми. Замінимо 105% десятковим дробом. Це буде 1,05. Для вирішення нашої задачі потрібно 500 помножити на 1,05:

Подібним же чином знайдемо вироблення робочого і в наступні дні:

у другий день: 500 • 1,07 = 535;

в третій »500 • 1,1 = 550;

»Четвертий» 500 • 1,06 = 530;

»П'ятий» 500 • 1,08 = 540.

3 а д а ч а 3. На ремонт меблів в школі витрачено 1 200 руб. 45% цієї суми пішло на оплату праці столярам, ​​а інша частина - на матеріали. Скільки було витрачено на оплату праці і скільки на матеріали?

Знайдемо спочатку, скільки сплатили столярам. З умови задачі видно, що їм сплатили 45% від 1 200 руб. Обчислимо 1% від 1 200 руб. розділивши 1 200 на 100, а потім обчислимо 45%, помноживши отримане приватне на 45. Результат запишемо так:

З цього запису видно, що для знаходження декількох відсотків від числа потрібно це число розділити на 100 і помножити на число відсотків.

Цю думку можна записати у вигляді формули; позначимо шукану кількість буквою b. дане в завданні число - буквою а й число відсотків буквою р. Таким чином, формула набуде вигляду:

Тепер нам потрібно ще знайти вартість матеріалів. Це можна зробити по-різному. Зробимо так. Знайдемо спочатку, скільки відсотків становить вартість матеріалів від загальної суми ремонту. Так як на робочу силу витрачено 45%, то на матеріали:

Отже, нам потрібно знайти 55% від 1 200 руб. Ми можемо скористатися тепер формулою. В даному випадку замість а підставами 1 200, а замість р число 55. Отримаємо наступне:

Таким чином, з 1200 руб. робочим сплатили 540 руб. а на матеріали витратили 660 руб.

Ми вирішили кілька завдань на обчислення відсотків. Покажемо, як можна вирішувати завдання за допомогою таблиці.

Таблиця для обчислення відсотків.

Припустимо, що вкладник має в ощадній касі на книжці 8 754 руб. Каси дають дохід 2% в рік. Скільки доходу отримає вкладник через рік після вкладення цієї суми? Нам потрібно обчислити 2% із зазначеної суми; тому в таблиці ми повинні дивитися на стовпець, де вказані суми, і на стовпець, де написано вгорі 2%. Міркуємо так: потрібно знайти 2% від 8 754. По таблиці знаходимо 2% від 8 000, це буде 160, потім 2% від 700, це буде 14, далі 2% від 50, - 1 і, нарешті, від 4, - 0,08. Складаючи ці числа, отримуємо 175,08 руб.

Рекомендуємо зробити обчислення і довести таблицю до 10%.

§ 121. Знаходження числа за його відсотками.

Вирішимо кілька завдань на знаходження числа, якщо відома його частина, складова дане число відсотків.

Завдання 1. У школі на батьківських зборах було відсутнє 12 осіб, що становить 7,5% від загального числа батьків. Скільки всього батьків мало бути присутнім на зборах?

Замінимо 7,5% десятковим дробом. Це буде 0,075. Значить, 12 осіб, які були відсутні на зборах, складають 0,075 від загального числа батьків. Таким чином, в цьому завданні потрібно знайти число за даною його дробу. Виконаємо це:

Отже, на батьківських зборах повинно було бути присутнім 160 осіб.

3 а д а ч а 2. Завод повинен був виготовити за місячним планом деяке число моторів. За місяць він виконав план на 116% і дав 1 740 моторів. Який був місячний план?

Можна міркувати так: план являє собою 100%, в завданню дано 116%, що виражається числом 1 740. Обчислимо спочатку 1% (поділом), а потім 100% (множенням):

2) 15 • 100 = 1500.

Отже, за планом треба було виготовити 1 500 моторів.

Зауваження. Можна поставити питання: чому ця задача з'явилася серед завдань на обчислення числа за його відсотками? Ми звикли серед подібних завдань зустрічати такі, в яких число відсотків менше 100, наприклад: «Завод за певний час виготовив 900 моторів, що становить 60% плану. Який був план? »У цьому завданні потрібно знайти число за його дробом, тому досить 900 розділити на 0,6, що в результаті дає нам 1 500.

Тут дріб від числа, або «частка» числа, становила 60%, т. Е. 0,6. У другій же завданню була дана незвичайна частка (116%, або 1,16), вона була більше самого числа. Однак в математиці і таке завдання не вважається винятком і її можна вирішувати звичайним способом, т. Е.

1740. 1,16 = 1 500.

3 а д а ч а 3. Згадаймо третє завдання попереднього параграфа. У ній була дана загальна сума ремонту (1 200 руб.) І число відсотків, витрачених з цієї суми на оплату праці (45%), а ставилося питання, скільки грошей було витрачено на оплату праці та на матеріали.

Тепер уявімо собі зворотну задачу. Нехай нам відомо, що на оплату праці витрачено 540 руб. і що це становить 45% від загальної суми ремонту. Поставимо питання: у що обійшовся ремонт меблів?

Завдання вимагає, знаючи 45% числа, знайти 100% його, т. Е. Все число. Зробимо так: знайдемо спочатку 1% (шляхом ділення даного числа на 45), а потім знайдемо 100% (множенням):

З цього запису видно, що для знаходження всього числа за кількома даними його відсоткам потрібно число, відповідне кільком відсоткам, розділити на число відсотків і помножити на 100.

Цю думку можна записати у вигляді, формули. Для цього позначимо шукану кількість буквою а. дане в завданні число, відповідне кільком відсоткам, - буквою b. а число відсотків- буквою р. Тоді формула набуде вигляду:

Скористаємося цією формулою для того, щоб, знаючи вартість матеріалів (660 руб.) І відповідне їй число відсотків (55%), знайти знову всю суму грошей, витрачених на ремонт:

§ 122. Знаходження процентного відношення чисел.

Розглянемо завдання на знаходження процентного відношення чисел.

3 а д а ч а 1. На зборах були присутні 200 осіб. За запропоновану резолюцію голосували 151 осіб. Скільки відсотків учасників зборів голосувало за резолюцію?

В задачі потрібно знайти, скільки відсотків становить число 151 від 200. Ми вже вирішували подібні завдання і встановили, що в цьому випадку потрібно перше число розділити на друге і отримане приватне помножити на 100, т. Е.

Відповідь. За резолюцію голосувало 75,5%.

3 а д а ч а 2. За планом робітник повинен був виготовити 800 деталей, а виготовив 996 деталей. Скільки відсотків плану він виконав?

З умови задачі видно, що робочий перевиконав свій план, т. Е. Він виконав більше 100% плану. Вирішити це завдання можна таким же способом, як і попередню, т. Е.

Відповідь. Робочий виконав 124,5% плану.

3 а д а ч а 3. На 10 кг борошна вийшло 4,5 кг пріпёка. Скільки відсотків становить пріпёк від даної кількості борошна?

Спробуємо скласти формулу для вирішення цього завдання. Пригадаймо вказівку, зроблене до першої задачі. Там було сказано, що для вирішення подібних завдань потрібно розділити одне з чисел на інше (взяти їх відношення) і отримане приватне помножити на 100. Позначимо одне з чисел буквою а. інше - буквою А. число відсотків - буквою р. Тоді формула набуде вигляду:

Застосуємо її до вирішення нашої задачі, підставивши в неї замість букв числа з завдання:

Відповідь. Пріпёк становить 45%.

§ 123. Таблиці процентних відносин.

Відсоткове співвідношення, як видно з попереднього параграфа, іноді виражається не цілим, а дробовим числом.

Приклад. Знайти відсоткове відношення числа 19 до числа 70:

Тут при розподілі виходить періодичний дріб з періодом з 6 цифр. Ми не стали виписувати весь цей період, а обмежили обчислення сотими частками.

Задачі на знаходження процентного відношення чисел широко поширені. Коли ми даємо відсотки виконання плану, успішності учнів, приросту населення, зростання заробітної плати, збільшення посівних площ і т. Д. То ми вирішуємо завдання на знаходження процентного відношення двох чисел. Для полегшення обчислень і економії часу складені таблиці процентних відносин. Такі таблиці займають кілька сторінок, але, щоб дати про них уявлення, ми покажемо тут лише маленьку частинку їх.

У цій частині таблиці можна знайти процентні відносини чисел від 61 до 70 до чисел, рівним їм або великим їх. Тут можна знайти процентні відносини 61 до 65, до 67 і т. Д. Процентні відносини 64 до 66, до 68 і т. Д.

Знайдемо, наприклад, чому дорівнює процентне відношення 62 до 64. У першому стовпчику в третьому рядку знайдемо число 62; на перетині цього рядка і стовпця з числом 64 знайдемо процентне відношення 62. 64. Воно дорівнює 96,88. Перевіримо обчисленням це відношення:

Обчислене нами число майже збігається з табличним.

Рішення завдання має полягати в знаходженні процентного відношення доставленого палива до загальної кількості, яке потрібно заготовити, т. Е. Числа 65 до числа 70.

Це ставлення ми можемо знайти в таблиці, воно дорівнює 92,86%.

У п'ятому розділі були показані зразки найпростіших діаграм. Розглянемо ще деякі діаграми. Тут дані для побудови діаграм будуть виражені у відсотках.

3 а д а ч а 1. В десятіклассной школі 300 учнів. У I класі вчиться 15% всіх учнів, у II класі теж 15%, в III класі 14%, в IV класі теж 14%, в V класі 12%, в VI класі 8%, в VII класі 6%, в VIII класі 6%, в IX класі 5% і в X класі теж 5%.

Побудувати лінійну діаграму складу учнів по класах і обчислити, скільки учнів у кожному класі.

Діаграма матиме вигляд, зображений на малюнку 33.

Число учнів у кожному класі обчисліть самі.

Завдання 2. Сільськогосподарське навчальний заклад має дослідну ділянку. 30% його зайнято зерновими культурами, 25% - плодовими деревами, 15% -ягоднимі рослинами, 20% -Овочі і 10% - іншими культурами. Побудувати діаграму розподілу різних культур.

Накреслимо дві діаграми. Перша буде столбчатая (рис. 34). Ширина всіх стовпчиків однакова, і вона не береться до уваги. Потрібно розглядати тільки висоту стовпчиків.

Друга діаграма (рис. 35) побудована інакше. Вона являє собою квадрат, розділений на 100 квадратиків. Кожен квадратик відповідає одному відсотку. Тоді 30 квадратиків представляють 30%, 25 квадратиків - 25%, 15 квадратиків - 15%, 20 квадратиків - 20% і 10 квадратиків - 10%.

Завдання 3. Клубу видали 10 000 руб. Ці кошти були витрачені в такий спосіб: на поповнення бібліотеки 25%, на лекційну роботу 40%, на радіофікацію 8%, на інвентар 12% і на обладнання сцени 15%.

Зобразимо ці дані за допомогою секторної діаграми. Під секторної діаграмою зрозуміло креслення, на якому кожному даному числу відповідає сектор, т. Е. Частина круга, обмежена двома радіусами і дугою.

Для побудови таких діаграм зручно користуватися «процентним транспортиром». Він являє собою коло, розділений по колу на 100 рівних частин (рис. 36).

Щоб побудувати діаграму за допомогою процентного транспортира, ставлять на папері точку і з неї проводять вправо пряму. Потім накладають процентний транспортир на папір так, щоб його центр співпадав з зазначеної точкою, а початковий радіус (що йде з центру до нуля) збігався з прямою. Щоб відкласти 25%, ставимо на папері точку проти того місця, де на транспортирі варто число 25, і до цієї точки з центру проводимо радіус. Після цього можна було б повернути транспортир проти руху годинникової стрілки, поєднати початковий радіус з відрізком, проведеним до 25%, і потім відкласти 40%; але можна такого повороту і не робити, а вчинити інакше. Відклавши 25%, знайти суму 25% + 40% = 65%, поставити крапку на 65-му розподілі транспортира і з'єднати центр з цією точкою. Подібним чином проводяться і інші відрізки.

Скільки грошей довелося на кожен захід, обчисліть самі.

Конструктор uCoz