Скільки діагоналей у багатокутника, найпростіший пошук відповідей на найкращі запитання

Діагональ в багатокутнику (Поліедр) - відрізок, що з'єднує будь-які дві несуміжні вершини, іншими словами, вершини, які не належать одній стороні багатокутника (одному ребру поліедра).

У поліедров розрізняють діагоналі граней (розглянутих як плоскі багатокутники) і просторові діагоналі, що виходять за межі граней. У поліедров, що мають трикутні грані є тільки просторові діагоналі.

Діагоналей немає у трикутника на площині і у тетраедра в просторі, так як всі вершини цих фігур попарно пов'язані сторонами (ребрами).

Кількість діагоналей N у багатокутника просто обчислити за формулою:

де n - число вершин багатокутника. За цією формулою неважко знайти, що

  • у трикутника - 0 діагоналей
  • у прямокутника - 2 діагоналі
  • у п'ятикутника - 5 діагоналей
  • у шестикутника - 9 діагоналей
  • у восьмикутника - 20 діагоналей
  • у 12-кутника - 54 діагоналі
  • у 24-кутника - 252 діагоналі

    Кількість діагоналей поліедра з числом вершин n просто підрахувати тільки для варіанту, коли в кожній верхівці поліедра сходиться однакове число ребер k. Тоді є можливість скористатися формулою:

    яка даємо Сумманен число просторових і граневих діагоналей. Звідси є можливість відшукати, що

  • у тетраедра (n = 4, k = 3) - 0 діагоналей
  • у октаедра (n = 6, k = 4) - 3 діагоналі (всі просторові)
  • у куба (n = 8, k = 3) - 16 діагоналей (12 граневих і 4 просторових)
  • у ікосаедра (n = 12, k = 5) - 36 діагоналей (всі просторові)
  • у додекаедру (n = 20, k = 3) - 160 діагоналей (25 граневих і 135 просторових)

    У тому випадку в різних верхівках поліедра сходиться різне число ребер, підрахунок помітно ускладнюється і повинен проводиться персонально для кожного варіанта.

    Фігури з рівними діагоналями

    На площині існує два правильних багатокутника, у яких все діагоналі рівні між собою. Це квадрат і правильний п'ятикутник. У квадрата дві схожих діагоналі, що перетинаються в центрі під прямим кутом. У правильного п'ятикутника 5 схожих діагоналей, які спільно утворюють начерк п'ятикутної зірки (пентаграми).

    Єдиний вірний поліедр, у якого все діагоналі рівні між собою - вірний восьмигранник октаедр. У нього три діагоналі, які попарно перпендикулярно перетинаються в центрі. Все діагоналі октаедра - просторові (діагоналей граней у октаедра немає, тому що у нього трикутні грані).

    Крім октаедра ще є один вірний поліедр, у якого все просторові діагоналі рівні між собою. Це куб (гексаедр). У куба чотири схожих просторових діагоналі, які також перетинаються в центрі. Кут між дигональ куба состаляет або arccos (1/3) ≈ 70,5 ° (для пари діагоналей, проведених до суміжних вершин), або arccos (-1/3) ≈ 109,5 ° (для пари діагоналей, проведених до несуміжних вершин ).

  • ru.wikipedia.org - Вікіпедія: Діагональ
  • dic.academic.ru - ілюстрація різниці між граневой і просторової діагоналями поліедра

    Додатково в базі даних New-Best.comа:

  • Як відшукати діагональ прямокутника?
  • Скільки вершин, ребер і граней у тетраедра?
  • Скільки вершин, ребер і граней у куба (гексаедр)?

    Джерело матеріалу Інтернет-сайт www.genon.ru