Ські методи розв’язання задачі (3

Пояснимо основні поняття, що виникають при використанні чисельних методів.

Введемо по змінної t рівномірну сітку з кроком h> 0. тобто розглянемо безліч точок.

1. Метод Ейлера. Рівняння (3.1) замінюється різницевим рівнянням

.

Рішення цього рівняння знаходиться явно по рекуррентной формулою.

Похибка методу., Де

- константа, що залежить від правої частини диференціального рівняння (3.1). У цьому випадку метод має перший порядок точності.

На лекції 6 ми вивчили:

Завдання Коші для диференціального рівняння першого порядку.

Методи чисельного рішення диференціального рівняння першого порядку.

Метод Ейлера і його похибка.

Метод Рунге-Кутта другого порядку точності і його похибка.

Метод Рунге-Кутта третього порядку точності і його похибка.

Метод Рунге-Кутта четвертого порядку точності і його похибка.

2. Метод Рунге - Кутта другого порядку точності.

Припустимо, що наближене значення

рішення вихідної задачі в точцівже відомо. для знаходженняпоступимо таким чином. Спочатку, використовуючи схему Ейлераобчислимо проміжне значення, а потім скористаємося різницевим рівнянням, з якого явно знайдемо шукане значення.

Похибка методу., Де

- константа, що залежить від вихідних даних (3.1). Цей метод має другий порядок точності.

3. Метод Рунге - Кутта третього порядку точності.

Вважаємо, що рішення задачі (3.1) - (3.2) в точці

вже відомо. Тоді рішення задачі (3.1) - (3.2) визначається за наступною схемою:

, де

- константа, яка не залежить ВТК.

4. Метод Рунге - Кутта четвертого порядку точності.

, де

- константа, що залежить від початкових даних і не залежить ВТК.

Зауваження. Метод Рунге-Кутта також застосовується, якщо невідома функція є вектором, тобто

На лекції 7 ми вивчили:

Метод Рунге-Кутта другого порядку точності і його похибка.

Метод Рунге-Кутта третього порядку точності і його похибка.

Метод Рунге-Кутта четвертого порядку точності і його похибка.

Звичайно-різницева апроксимація першої похідної і її похибка.

Звичайно-різницева апроксимація другої похідної і її похибка.

Звичайно-різницева апроксимація першої і другої похідної виходить з визначення похідної. Використовуючи розкладання функції в околі точки х в ряд Тейлора з залишковим членом у формі Пеано, ми отримуємо праву і ліву кінцеві різниці, а також апроксимацію другої похідної.

На лекції 8 ми навчилися апроксимувати першу і другу похідні функції.

Завдання теплообміну в трубопроводі нефтеперевозкі.

Математична модель задачі теплообміну в трубопроводі нефтеперевозкі.

§ 4. Завдання теплообміну в трубопроводі нефтеперевозкі. Диференціальні рівняння другого порядку. крайова задача

1-Го роду.

4.1. Постановка задачі.

Завдання 4. Довгий трубопровід з теплопровідністю λ (ккал / м.час град.) Знаходиться в стані теплової рівноваги, тобто температура точок трубопроводу не змінюється в часі. Втрата тепла через поверхню трубопроводу в навколишнє середовище, температура якої θ0 = const. пропорційна різниці температур з постійним коефіцієнтом теплопередачі α (ккал / м 2. годину град.). Вважаючи температуру θ у всіх точах поперечного перерізу трубопроводу постійної, знайти її залежність θ = θ (х) від координати, відлічуваної від будь-якого кінця.