Скалярний добуток векторів

Скалярним добутком векторів і називається число, яке дорівнює добутку довжин цих сторін на косинус кута між ними: × = ï ïï ïcosj

Ортогональні вектора - вектора перпендикулярні один одному. Скалярний твір яких дорівнює 0, тому що cos90 0 = 0

Скалярний квадрат - це скалярний твір вектора самого на себе, і дорівнює квадрату довжини даного вектора.

× = ï ïï ïcos0 0 = ï ï 2 ≥ 0

Властивості скалярного твори, обчислення скалярного твори через координати вектора.

Властивості скалярного твори:

1) × = ï ï 2;

2) × = 0, якщо ^ або = 0 або = 0.

3) × = ×;

4) × (+) = × + ×;

5) (m) × = × (m) = m (×);

If розглянути-ть вектори в декартовій прямокутній системі координат, то × = xa xb + ya yb + za zb;

Права трійка векторів.

Трійка некомпланарних векторів abc називається правої (лівої), якщо після приведення до спільного початку вектор з розташовується по ту сторону від площини, яка визначається векторами а і b. звідки найкоротший поворот від а до b здається совершающимся проти годинникової стрілки (за годинниковою стрілкою).

abc - права трійка abc - ліва трійка

Векторний добуток векторів. Властивості векторного твори.

Векторним твором векторів і називається вектор. задовольняє таким умовам:

1). де j - кут між векторами і.

2) вектор ортогональний векторам і

3). і утворюють праву трійку векторів.

Властивості векторного добутку векторів:

2). якщо ïï або = 0 або = 0;

3) (m) '=' (m) = m ( ');

4) '(+) =' + ';

5) Якщо задані вектори (xa. Ya. Za) і (xb. Yb. Zb) в декартовій прямокутній системі координат з одиничними векторами. то '=

6) Геометричним змістом векторного добутку векторів є площа паралелограма, побудованого на векторах і.

Обчислення векторного твори в координатах.

Приклад. Знайти векторний добуток векторів і

Приклад. Обчислити площу трикутника з вершинами А (2, 2, 2), В (4, 0, 3), С (0, 1, 0).

Приклад. Довести, що вектори. і компланарність.

. тому вектори лінійно залежні, то вони компланарність.

Приклад. Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах. якщо

Змішане твір векторів.

Змішаним твором векторів. і називається число, яке дорівнює скалярному добутку вектора на вектор, рівний векторному добутку векторів і. Позначається або (..).

Геометричний сенс змішаного твори.

Змішане твір по модулю дорівнює обсягу паралелепіпеда, побудованого на векторах. і.