Скалярний добуток двох векторів - студопедія

1. Скалярний добуток двох векторів. Визначення, властивості, координатна форма.

2. Векторний добуток векторів. Визначення, властивості, геометричний сенс, координатна форма.

3. Змішане твір трьох векторів. Визначення, властивості, геометричний сенс, координатна форма.

4. Додаток скалярного, векторного, змішаного добутку векторів до вирішення задач. Обчислення площ і обсягів фігур, знаходження відстаней від точки до прямої в тривимірному просторі, між перехресними прямими і т.д.

Скалярний добуток двох векторів

Нехай є два ненульових вектора і. Побудуємо їх представників і з початком в точці О. Проведемо промені OA і OB.

Визначення. Кутом між векторами і називається кут.

Зауваження. Кут між векторами не залежить від вибору точки O.

Якщо. то; якщо. то.

Визначення. Два ненульових вектора і називаються перпендикулярними. якщо.

Таким чином, для будь-яких векторів і справедливо:.

Визначення. Скалярним добутком двох векторів і називається число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.

Найпростіші властивості скалярного множення

1. Критерій перпендикулярності двох векторів:.

2.. де - скалярний квадрат вектора.

Теорема. Нехай в базисі вектори мають координати:. . Тоді ng w: val = "EN-US" w: fareast = "RU" >b3">.

Слідство 1. Нехай. в базисі. тоді:

Наслідок 2. Нехай. два ненульових вектора в ортонормированном базисі. тоді:

Алгебраїчні властивості скалярного множення

Теорема. Для будь-якого і для будь-яких векторів справедливі рівності:

Слідство. Для будь-яких векторів справедливо: