Симетрія відносно точки, найбільший портал по навчанню

Симетрія відносно точки

Нехай О - фіксована точка і X - довільна точка площини (рис. 187). Відкладемо на продовженні відрізка ОХ за точку О відрізок ОХ ', рівний ОХ.

Точка X 'називається симетричною точці X відносно точки О. Точка, симетрична точці О, є сама точка О. Очевидно, що точка, симетрична точці X', є точка X.

Перетворення фігури F у фігуру F ', при якому кожна її точка X переходить в точку X', симетричну щодо даної точки О, називається перетворенням симетрії відносно точки О. При цьому фігури F і F 'називаються симетричними відносно точки О (рис. 188).

Якщо перетворення симетрії відносно точки О переводить фігуру F у себе, то вона називаетсяцентрально-симетричною. а точка О називається центром симетрії.

Наприклад, паралелограм є центрально-симетричною фігурою. Його центром симетрії є точка перетину діагоналей (рис. 189).

Теорема 9.2. Перетворення симетрії відносно точки є рухом.

Доведення. Нехай X і Y - дві довільні точки фігури F (рис. 190). Перетворення симетрії відносно точки О переводить їх в точки X 'і У.

Розглянемо трикутники XOY і X'OY '. Ці трикутники рівні за першою ознакою рівності трикутників. У них кути при вершині Про рівні як вертикальні, а ОХ = ОХ ', OY = OY' за визначенням симетрії відносно точки О. З рівності трикутників випливає рівність сторін: XY = X'Y '. А це означає, що симетрія відносно точки О є рух. Теорема доведена.

А. В. Погорєлов, Геометрія для 7-11 класів, Підручник для загальноосвітніх установ