Швидкості і прискорення як похідні координати

Знаючи координату тіла (закон, за яким вона змінюється) можна дуже багато чого про рух цього тіла дізнатися. Наприклад, швидкість - перша похідна від координати. А прискорення - друга похідна, або перша похідна швидкості. Якщо в задачі дано ще й час руху тіла - то можна повністю описати рух і знайти всі його характеристики для даного моменту часу.

Завдання 1. Точка рухається по прямій відповідно до закону. де м / с, м / c. Визначити: середню швидкість точки в інтервалі часу від с до с, координату точки в той момент часу, коли швидкість тіла дорівнюватиме нулю.

Середня швидкість - це відношення пройденого шляху до часу. Час руху очевидно: с. А шлях можна визначити як:

Щоб визначити швидкість, візьмемо похідну координати за часом:

Якщо швидкість дорівнює 0, то

Завдання 2. Точка рухається уздовж осі за законом. Знайти напрямок руху в моменти часу: а) с; б) с. Чому дорівнюватимуть прискорення в ці моменти часу?

Щоб визначити напрямок руху, нам треба дізнатися знак швидкості в дані моменти часу. Визначимо спочатку швидкість тіла як похідну координати:

Тому в момент часу тіло рухається в позитивному напрямку, а в момент часу - в негативному.

Визначимо прискорення як другу похідну від координати, або першу похідну швидкості за часом:

Відповідь: м / с, рух по осі, м / с. м / с, рух проти осі, м / с.

Завдання 3. Тіло рухається прямолінійно, причому швидкість залежить від часу за законом:. Визначити залежність прискорення від часу. Яке значення прискорення при с?

Щоб знайти прискорення, візьмемо похідну швидкості: