Що таке система лінійних рівнянь з двома змінними

Лінійне рівняння з двома змінними має загальний вигляд ax + by + c = 0. У ньому a, b і з - це коефіцієнти - якісь числа; а x і y - змінні - невідомі числа, які треба знайти.

Рішенням лінійного рівняння з двома змінними є пара чисел x і y, при яких ax + by + c = 0 - вірне рівність.

У конкретного лінійного рівняння з двома змінними (наприклад, 3x + 2y - 1 = 0) є безліч рішень, то є безліч пар чисел, при яких рівняння вірно. Лінійне рівняння з двома змінними перетворюється в лінійну функцію виду y = kx + m, яка представляє собою пряму на координатної площині. Координати всіх точок, що лежать на цій прямій, є рішеннями лінійного рівняння з двома змінними.

Якщо дано два лінійних рівняння виду ax + by + c = 0 і потрібно знайти такі значення x і y, при яких обидва вони матимуть рішення, то кажуть, що треба вирішити систему рівнянь. Систему рівнянь пишуть під загальною фігурною дужкою. приклад:

У системи рівнянь може бути жодного рішення, якщо прямі, що є графіками відповідних лінійних функцій, не перетинаються (тобто паралельні один одному). Щоб зробити висновок про відсутність рішення, досить перетворити обидва лінійних рівняння з двома змінними до виду y = kx + m. Якщо в обох рівняннях k - одне і те ж число, то система не має рішень.

Якщо система рівнянь виявляється що складається з двох однакових рівнянь (що може бути очевидно не відразу, а після перетворень), то вона має безліч рішень. В даному випадку говорять про невизначеність.

У всіх інших випадках система має одне рішення. Цей висновок можна зробити з того, що дві будь-які непаралельних прямі можуть перетнутися лише в одній точці. Саме ця точка перетину буде лежати і першою прямою і другий, тобто бути рішенням і першого рівняння і другого. Отже бути рішенням системи рівнянь. Однак слід обумовити ситуації, коли на значення x і y накладаються ті чи інші обмеження (зазвичай за умовою завдання). Наприклад x> 0, y> 0. У такому випадку навіть якщо система рівнянь матиме рішення, але воно не буде задовольняти умові, то робиться висновок, що система рівнянь не має рішень при заданих умовах.

Вирішити систему рівнянь можна трьома способами:

1. Методом підбору. Найчастіше це дуже складно зробити.
2. Графічним методом. Коли чертятся на координатної площині дві прямі (графіки функцій відповідних рівнянь) і знаходиться їхня точка перетину. Даний метод може дає не точні результати, якщо координати точки перетину - дробові числа.
3. Алгебраїчними методами. Вони є універсальними і надійними.

Рівняння і нерівності