Що таке рахункові безлічі

Рахунковими є нескінченні множини, які еквівалентні безлічі натуральних чисел. Еквівалентність означає рівну потужність множин, що можна порівняти з однаковою кількістю елементів, проте в нескінченних множинах кількість елементів нескінченно.

Якщо безліч лічильно, то кожному його елементу можна поставити у відповідність натуральне число. Кожному елементу можна зіставити тільки одне натуральне число, і у кожного натурального числа може бути тільки один зіставлений йому елемент. Тобто встановлюється взаємно-однозначна відповідність.

Можна вважати зіставлені натуральні числа номерами елементів множини. Таким чином виходить, що у кожного елемента є свій номер. Тому властивістю рахункового безлічі є можливість перенумерувати його елементи.

Очевидний приклад рахункового безлічі - це безліч натуральних чисел, де кожен елемент можна зіставити самому собі.

Рахунковим безліччю є безліч парних чисел, так як кожному з них можна поставити у відповідність свій номер. Навіть якщо безліч включає також негативні числа, можна придумати таку нумерацію, що ніякої елемент не буде упущений. Наприклад, елементу 0 поставити у відповідність натуральне число 1. Елементу 2 - число 2, елементу -2 - число 3, елементу 4 - число 4, елементу -4 - число 5, елементу 6 - число 6 і т. Д. Тобто вважати елементи, «розкидаючи» натуральні числа туди сюди від нуля.

Зрозуміло, що рахунковими будуть безлічі і непарних чисел, кратних будь-якого числа. І це виглядає дивно, так як начебто зрозуміло, що чисел кратних, наприклад 10, менше, ніж натуральних чисел, але обидва безлічі Рахункової та нескінченні, а тому мають рівну потужність. Ми можемо нескінченно перераховувати числа, кратні 10:
10 (1), 20 (2), 30 (3), ... 100 (10), 1000 (100), 1010 (101), ...