Що називають математичною моделлю

Математична модель - це система математичних співвідношень - формул, рівнянь, нерівностей і т.д. відображають істотні властивості об'єкта чи явища.

Будь-яке явище природи нескінченно у своїй складності. Проілюструємо це за допомогою прикладу, узятого з книги В.М. Очеретяна "Людина і інформація" (Видавництво "Наука", 1970).

Обиватель формулює математику завдання наступним чином: "Скільки часу буде падати камінь з висоти 200 метрів?" Математик почне створювати свій варіант завдання приблизно так: "Будемо вважати, що камінь падає в порожнечі і що прискорення сили тяжіння 9,8 метра в секунду за секунду. Тоді."

- Дозвольте, - може сказати "замовник", - мене не влаштовує таке спрощення. Я хочу знати точно, скільки часу буде падати камінь в реальних умовах, а не в неіснуючої порожнечі.

- Добре, - погодиться математик. - Будемо вважати, що камінь має сферичну форму і діаметр. Якого приблизно він діаметра?

- Близько п'яти сантиметрів. Але він зовсім не сферичний, а довгастий.

- Тоді будемо вважати, що він має форму еліпсоїда з півосями чотири, три і три сантиметри і що він падає так, що велика піввісь весь час залишається вертикальною. Тиск повітря приймемо рівним 760 мм ртутного стовпа. звідси знайдемо щільність повітря.

Якщо той, хто поставив завдання на "людському" мові не буде далі втручатися в хід думки математика, то останній через деякий час дасть чисельний відповідь. Але "споживач" може заперечувати як і раніше: камінь насправді зовсім не еліпсоїдального, тиск повітря в тому місці і в той момент не було одно 760 мм ртутного стовпа і т.д. Що ж відповість йому математик?

Він відповість: "Точне рішення реального завдання взагалі неможливо. Мало того, що форму каменю. Яка впливає на опір повітря, неможливо описати ніяким математичним рівнянням; його обертання в польоті також непідвладне математики через свою складність. Далі, повітря не є однорідним, так як в результаті дії випадкових чинників в ньому виникають флуктуації коливання щільності. Якщо піти ще глибше, потрібно врахувати, що згідно із законом всесвітнього тяжіння кожне тіло діє на кожне інше тіло. звідси випливає, що навіть маятні настінного годинника зраджує своїм рухом траєкторію каменю.

Коротше кажучи, якщо ми всерйоз захочемо точно дослідити поведінку будь-якого предмета, то нам попередньо доведеться дізнатися місцезнаходження і швидкість всіх інших предметів Всесвіту. А це, зрозуміло, неможливо. .

Щоб описати явище, необхідно виявити найістотніші його властивості, закономірності, внутрішні зв'язки, роль окремих характеристик явища. Виділивши найбільш важливі фактори, можна знехтувати менш суттєвими.

Найбільш ефективно математичну модель можна реалізувати на комп'ютері у вигляді алгоритмічної моделі - так званого "обчислювального експерименту" (див. [1], параграф 26).

Звичайно, результати обчислювального експерименту можуть виявитися і не відповідають дійсності, якщо в моделі не будуть враховані якісь важливі сторони дійсності.

Отже, створюючи математичну модель для вирішення задачі, потрібно:

1. виділити припущення, на яких буде ґрунтуватися математична модель;

2. визначити, що вважати вихідними даними і результатами;

3. записати математичні співвідношення, що зв'язують результати з вихідними даними.

При побудові математичних моделей далеко не завжди вдається знайти формули, явно виражають шукані величини через дані. У таких випадках використовуються математичні методи, що дозволяють дати відповіді тією чи іншою мірою точності.

Існує не тільки математичне моделювання будь-якого явища, а й візуально-натурне моделювання, яке забезпечується за рахунок відображення цих явищ засобами машинної графіки, тобто перед дослідником демонструється своєрідний "комп'ютерний мультфільм", що знімається в реальному масштабі часу. Наочність тут дуже висока.