Сферичне рух твердого тіла
4. сферичних РУХ ТВЕРДОГО ТІЛА.
Сферичним називається рух твердого тіла має одну нерухому точку.
Тіло D робить сферичне рух відносно нерухомої точки О (рис. 4.1). Точки тіла D рухаються по сферам з центром в точці О.
Для характеристики сферичного руху тіла введемо дві ортогональні системи відліку c початком координат в нерухомій точці О. нерухому Охуz і рухливу Охуz. пов'язану з тілом D і рухому разом з ним щодо точки О. Пряма ОК. є лінією перетину площині ХУ з площиною ху. називається лінією вузлів. Положення рухомий системи Охуz відносно нерухомої Охуz можна задати за допомогою кутів Ейлера: кута прецесії, кута власного обертання і кута нутації. Отже, для завдання сферичного руху твердого тіла необхідно поставити кути Ейлера як функції часу:
Рівняння (4.1) називаються рівняннями сферичного руху твердого тіла. При зміні тільки кута тіло D буде обертатися навколо осі ОZ з кутовий швидкістю; при зміні тільки кута тіло D буде обертатися навколо осі Оz з кутовий швидкістю; при зміні тільки кута тіло D буде обертатися навколо лінії вузлів ОК з кутовий швидкістю (рис. 4.2). При русі тіла D все три кути Ейлера змінюються одночасно, і результуючий рух буде обертовим рухом з миттєвою кутовою швидкістю
Мал. 4.2 Рис. 4.3
Пряма ЗР вздовж якої спрямований вектор миттєвої кутової швидкості результуючого обертання називається миттєвою віссю обертання тіла. При сферичному русі тіла D миттєва вісь ОР змінює своє положення в просторі, при цьому вектор миттєвої кутової швидкості змінюється як за величиною, так і за напрямом (рис. 4.3). Кутовим прискоренням тіла в момент часу t називається вектор
З іншого боку згідно (1.2) швидкість точки А - кінця вектора миттєвої кутової швидкості
Отже, при сферичному русі тіла вектор кутового ускореніяв кожен момент часу направляється як скоростіконца вектора миттєвої кутової скоростітела і прикладається в нерухому точку О (рис. 4.3):
Пряма ОЕ. вздовж якої спрямований вектор кутового прискорення. називається віссю кутового прискорення.
При сферичному русі тіла напрямки векторовіне збігаються.
Для визначення швидкості довільної точки М тіла D проведемо з нерухомої точки О в точку М радіус вектор. Тоді згідно (1.2) і (2.18)
оскільки вектор постійний по модулю, тому що відстань між точками О і М абсолютно твердого тіла при русі не змінюється. Отже, при сферичному русі тіла швидкість будь-якої його точки визначається як її обертальна швидкість навколо миттєвої осі.
Для визначення величини швидкості точки М опустимо з цієї точки на миттєву вісь ОР перпендикуляр hp. тоді
Мал. 4.4 Рис. 4.5
Вектор спрямований згідно (4.5) перпендикулярно площині, що проходить через точку М і миттєву вісь обертання ОР в напрямку (hp, рис. 4.4).
Для визначення прискорення точки М тіла при сферичному русі обчислимо похідну за часом від рівності (4.5):
називається обертальним прискоренням точки М. а
-осестремітельнимускореніем точки М.
Отже, прискорення будь-якої точки при сферичному русі визначається як геометрична сума її обертального і осестремітельного прискорень.
Модулі осестремітельного і обертального прискорень визначаються за формулами:
де - величина перпендикуляра опущеного з точки М на вісь кутового прискорення ОЕ. Вектор осестремітельного прискорення спрямований згідно (4.9) з точки М до миттєвої осі ОР (уздовж hp. Рис. 4.5). Вектор обертального прискорення згідно (4.8) спрямований в точці М перпендикулярно площині, походящей через цю точку і вісь кутового прискорення ОЕ в напрямку (рис. 4.5).
Вектор повного прискорення точки при сферичному русі визначається діагоналлю паралелограма побудованого на векторах і як на сторонах (рис. 4.5). Тому модуль визначається за формулою
РУХ ВІЛЬНОГО ТВЕРДОГО ТІЛА
Розглянемо вільний тверде тіло D. рухається відносно нерухомої системи відліку Охуz (рис. 4.6). Положення тіла в будь-який момент часу однозначно визначається завданням довільного жорстко пов'язаного з ним трикутника М1 М2 М3. тобто завданням дев'яти декартових координат, що визначають положення вершин цього трикутника.
Однак так як відстані між вершинами трикутника при його русі не змінюються (як відстані між будь-якими точками твердого тіла), то координати вершин будуть пов'язані один з одним співвідношеннями:
Тут xk, yk, zk (k = 1, 2, 3) - декартові координати k - ой вершини трикутника М1М2М3. l12, l23, l31 - відстані між відповідними вершинами цього трикутника. Тому, для визначення положення тіла D досить задати шість декартових координат, інші три можуть бути знайдені за допомогою вище записаних рівнянь.
ЧіслоSнезавісімих координат, однозначно визначають положення тіла в просторі дорівнює числу ступенів свободи тіла. Отже, для вільного твердого тіла S = 6.
Зазвичай в якості незалежних координат вибирають декартові координати хА, УА. zA довільної точки А. прийнятої за полюс, і три кути Ейлера щодо декартової системи координат Ах1у1z1. двіжущеёся поступально з полюсом А (для простоти на рис. 4.7 кути Ейлера не показані). Для завдання руху вільного тіла D необхідно задати:
Рівняння (4.13) називаються рівняннями вільного руху твердого тіла. З (4.13) випливає, що якщо зафіксувати кути Ейлера, то тіло D рухається поступально як обраний полюс А. а якщо подумки зупинити полюс А. то тіло D робить сферичне рух навколо цього полюса А. При вільному русі твердого тіла обидва ці рухи відбуваються одночасно . Отже, переміщення вільного твердого телаDіз одного положення нескінченно близьке складається з поступального переміщення тіла разом з полюсом А і повороту навколо миттєвої осі АР, що проходить через цей полюс (рис. 4.7).
Тому швидкість і прискорення будь-якої точки М вільно рухомого тіла складаються з швидкостей і прискорень точки М в поступальному русі разом з полюсом А і з швидкості і прискорення точки М в сферичному русі навколо цього полюса і визначаються за формулами:
де, - швидкість і прискорення полюса А. - швидкість, а - прискорення точки М в сферичному русі навколо полюса А.
Приклад 4.1. Конус з кутом при вершині і радіусом підстави котиться по нерухомій площині без ковзання (рис.4.8). Швидкість центру підстави. Визначити в даний момент часу кутову швидкість, кутове прискорення, швидкість та прискорення точки В конуса.
Вирішити завдання при наступних даних:, 20 см. 60 см / с.
Рішення. Конус здійснює сферичне рух. Для визначення положення миттєвої осі ОР конуса знайдемо дві точки, швидкість яких в даний момент часу дорівнюють нулю. Такими точками є точка О і будь-яка точка L торкання конуса з нерухомою площиною ху. Пряма ОР - утворює конуса, що проходить через точки О і L в кожен момент його руху є миттєвою віссю обертання тіла (рис. 4.8).
Для визначення миттєвої кутової швидкості конуса опустимо з точки С на вісь ОР перпендикуляр. Тоді згідно (4.6)
Знайдемо швидкість точки В. опустивши з неї перпендикуляр ВК на миттєву вісь ОР рівний за величиною 2 (рис. 4.8):
Оскільки для точки С швидкість - постійна за величиною, то вектор миттєвої кутової швидкості також є постійним по модулю. При коченні конуса по нерухомій площині ху кінець вектора - точка А описує коло радіуса (рис. 4.8). Згідно (4.4)
де - кутова швидкість обертання конуса навколо осі Oz. Для обчислення проведемо з точки С на вісь Оz перпендикуляр (рис. 4.8)
Для визначення прискорення точки В конуса скористаємося теоремою (4.7):
де 415,7 см / с 2.
Вектор осестремітельного прискорення направлений з точки В до миттєвої осі обертання ОР (рис. 4.9). Вектор обертального прискорення перпендикулярний площині, що проходить через вектори і. Вектор повного прискорення точки В - визначається діагоналлю паралелограма, побудованого на векторах і як на сторонах, модуль якого
Питання для самоперевірки
1. Що необхідно задати, щоб задати сферичне рух твердого тіла?
2. Що називається миттєвою віссю обертання тіла?
3. Як визначається напрямок вектора кутового прискорення тіла в даний момент часу при сферичному русі?
4. Як визначається модуль і напрямок швидкості точки тіла при сферичному русі?
5. Як визначається модуль і напрямок прискорення точки тіла при сферичному русі?
6. Скільки ступенів свободи має тіло при сферичному русі?