Середня величина як узагальнююча характеристика сукупності

Середні величини використовуються на етапі обробки та узагальнення отриманих первинних статистичних даних. Потреба визначення середніх величин пов'язана з тим, що у різних одиниць досліджуваних сукупностей індивідуальні значення одного і того ж ознаки, як правило, неоднакові. Середньою величиною називають показник, який характеризує узагальнене значення ознаки або групи ознак в досліджуваній сукупності.

Якщо досліджується сукупність з якісно однорідними ознаками, то середня величина виступає тут як типова середня, типова середня узагальнює якісно однорідні значення ознаки в даній сукупності. При дослідженні сукупності з якісно різнорідними ознаками на перший план може виступити нетиповість середніх показників. Такими, наприклад, є середні показники виробленого національного доходу на душу населення, середні показники врожайності зернових культур по всій терріторііУкаіни, середні показники народжуваності населення по всіх регіонах країни, середні температури. Тут середні величини узагальнюють якісно різнорідні значення ознак або системних просторових сукупностей або динамічних сукупностей, протяжних в часі. Такі середні величини називають системними середніми.

Таким чином, значення середніх величин полягає в їх узагальнюючої функції. Середня величина замінює велике число індивідуальних значень ознаки, виявляючи загальні властивості, притаманні всім одиницям сукупності.

На етапі статистичної обробки можуть бути поставлені найрізноманітніші завдання дослідження, для вирішення яких потрібно вибрати відповідну середню. При цьому необхідно керуватися таким правилом: величини, які являють собою чисельник і знаменник середньої, повинні бути логічно пов'язані між собою.

Середні величини бувають прості і зважені. Зваженими середніми називають величини, які враховують, що деякі варіанти значень ознаки можуть мати різну чисельність, в зв'язку з чим кожен варіант доводиться множити на цю чисельність.

14. Середня арифметична: проста і зважена.

Середня арифметична - найпоширеніший вид середньої. Вона використовується, коли розрахунок здійснюється по несгруппірованних статистичними даними, де потрібно здобути середню доданок. Середня арифметична - це таке середнє значення ознаки, при отриманні якого зберігається незмінним загальний обсяг ознаки в сукупності.

Формула середньої арифметичної (простий) має вигляд

де n - чисельність сукупності.

При розрахунку середніх величин окремі значення ознаки, який осередненою, можуть повторюватися, тому розрахунок середньої величини проводиться по згрупованих даних. У цьому випадку мова йде про використання середньої арифметичної зваженої, яка має вигляд

Можна виділити три основні властивості. Властивість перше (нульове): сума позитивних відхилень індивідуальних значень ознаки від його середнього значення дорівнює сумі негативних відхилень. Властивість друге (мінімальне): сума квадратів відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої арифметичної менше, ніж від будь-якого іншого числа (а), тобто є число мінімальне. Властивість третя: середня арифметична постійної величини дорівнює цій постійній: при а = const.

Крім цих трьох найважливіших властивостей середньої арифметичної є розрахункові властивості: якщо індивідуальне значення ознаки кожної одиниці помножити або розділити на постійне число, то середня арифметична збільшиться чи зменшиться в стільки ж разів; середня арифметична не зміниться, якщо вага (частоту) кожного значення ознаки розділити на постійне число; якщо індивідуальні значення ознаки кожної одиниці зменшити або збільшити на одну і ту ж величину, то середня арифметична зменшиться або збільшиться на ту ж саму величину.

15. Середня гармонійна: проста і зважена.

Середня гармонійна. Цю середню називають зворотної середньої арифметичної, оскільки ця величина використовується при k = -1. Проста середня гармонійна використовується тоді, коли ваги значень ознаки однакові:

Наприклад, нам потрібно обчислити середню швидкість двох автомашин, які пройшли один і той же шлях, але з різною швидкістю: перша - зі швидкістю 100 км / год, друга - 90 км / ч. Застосовуючи метод середньої гармонійної, ми обчислюємо середню швидкість:

У статистичній практиці частіше використовується гармонійна зважена, формула якої має вигляд

Дана формула використовується в тих випадках, коли ваги (або обсяги явищ) за кожною ознакою нерівні. У вихідному співвідношенні для розрахунку середньої відомий чисельник, але невідомий знаменник.