семінар 9

Операції над векторами, скалярний, векторний і змішане твори векторів.

Ввідна інформація

I. Геометричний вектор.

Определеніе.Вектором (геометричним вектором) називається спрямований прямолінійний відрізок, тобто відрізок, який має певну довжину і певний напрям. якщо

- початок вектора, а- його кінець, то вектор позначається символомабо. вектор() Називаетсяпротівоположним вектору .

Довжиною вектора або його модулем називається довжина відрізка і позначається

. Вектор, довжина якого дорівнює нулю, називаетсянулевим вектором і позначається . Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називаетсяедінічним вектором. Одиничний вектор, напрям якого збігається з напрямком вектора , називаетсяортом цього вектора і позначається .

вектори

іназиваютсяколлінеарнимі, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Для колінеарних векторів прийнято позначення . Два вектора називаютсяравнимі (), Якщо вони однаково спрямовані і мають однакові довжини. Три вектора в просторі називаютсякомпланарнимі. якщо вони лежать в одній площині або в паралельних площинах.

II. Операції над векторами.

На безлічі векторів вводиться бінарна операція, яка називається складанням векторів. Цю операцію можна визначити або правилом паралелограма (якщо вектори

і, є сторонами паралелограма, то їх сумою буде вектор, де- четверта вершина паралелограма), або правіломтреугольніка (якщо вектори іє сторонами трикутника, то їх сумою називають вектор).

Легко переконатися в наступних властивостях цієї бінарної операції на безлічі векторів:

Отже, щодо складання безліч векторів утворює абелеву групу.

твором вектора

на числоназивається вектор, який має довжинуі напрямок вектора, якщо; напрямок протилежної вектора до, якщо. Відмітимо, що.

Твір вектора на число має властивості:

Безліч геометричних векторів

з введеними на ньому операціями називаетсявекторним простором.

III. Координати вектора.

Розглянемо простір

з введеної на ньому декартовой системою координат. нехайі- три одиничних вектора, що виходять з початку координат в напрямках відповідно декартових осейі. Ці вектори називаютсяортамі координатних осей. нехай вектор має початок також в точці(Початку координат). Спроектуємо кінець векторана координатні осі. Отримані проекції можна записати в відеі, деі- кути, які утворює векторвідповідно з координатними осямиі. числаіназиваютсянаправляющімі косинусами вектора . векторі його проекції на координатні осі задовольняють рівності

.

Трійка векторів

називаетсябазісом векторного простору . а написане вище рівність - розкладанням вектора по базису. При цьому числаносять названіекоордінат вектора щодо базису. Оскільки координати векторащодо даного базису є проекціями цього вектора на координатні осі, довжина вектора і його координати пов'язані формулою

.

Підставляючи в цю формулу координати вектора, виражені через напрямні косинуси, легко отримати рівність

,

якому задовольняють напрямні косинуси будь-якого вектора. Зауважимо, що напрямні косинуси є координатами орта вектора

.

Оскільки координати вектора

повністю його визначають, можна ввести позначенняі замінити введені операції над векторами операціями над їх координатами. Так складання векторівможна замінити складанням їх координат :, тобто,

а множення вектора на число

- множенням координат на це число: або.

рівність векторів

на координатному мовою передбачає рівність їх координат, а коллинеарность- пропорційність їх координат.

Нехай є дві точки

і. тоді векторможна записати у вигляді. Зокрема, длярадіус-вектора точки маємо формулиілі.