Розрахунок емпіричних характеристик

Підписано до друку 6.06.06. Формат 60х90 1/16

Папір газетний. Друк оперативна. Ум. п. л.1,3.

Тираж 150 прим. Замовлення № 102.

1. МЕТА ТА ЗАВДАННЯ РОБОТИ

Метою цієї роботи є освоєння студентами методів оцінки рівня надійності елементів, вузлів і агрегатів технічних систем за даними експлуатації. В процесі виконання роботи необхідно освоїти методику обробки статистичних даних про відмови та несправності технічних систем, одержуваних при спостереженні під час експлуатації, з метою визначення закону розподілу часу напрацювання виробів до відмови і отримання кількісних показників характеристик надійності.

2. МЕТОДИКА І ПОРЯДОК РОЗРАХУНКУ

Вихідними даними для вирішення цієї задачі є: інтервал часу спостереження за об'єктами (ta), впорядковані по зростанню (варіаційний ряд) значення напрацювання до відмови вибірки виробів (ti), кількість виробів, що знаходяться в експлуатації (розмір вибірки -N) і кількість відмов у вибірці (N).

Порядок розрахунку наступний:

1. Угруповання даних.

2. Розрахунок емпіричних характеристик надійності.

3. Вибір теоретичного закону розподілу.

4. Визначення невідомих параметрів закону розподілу.

5. Перевірка правильності прийнятої гіпотези про закон розподілу.

6. Оцінка надійності об'єкта.

Угруповання даних. Інтервал напрацювання, на якому виявлені несправності, розбивається на кілька розрядів (інтервалів) величиною Dt. Кількість розрядів k визначається правилом Старджен:

Розрахунок емпіричних характеристик надійності. У кожному інтервалі Dti проводиться розрахунок емпіричних значень щільності f * (t), інтенсивності l * (t) відмов і ймовірності безвідмовної роботи P * (t) за формулами (2):

де () = Nіi - число об'єктів, справно працювали на початок розглянутого періоду (тобто на початок i-го розряду);

Dni - число об'єктів, які відмовили в інтервалі напрацювання Dti.

Вибір теоретичного закону розподілу. На основі розрахунку емпіричних характеристик будуються гістограми розподілу щільності, інтенсивності відмов і ймовірності безвідмовної роботи як функції напрацювання. Виходячи з зовнішнього вигляду гістограм, їх схожості з відомими законами розподілу (Додаток 1) і фізичної природи появи відмови, структури вироби, умов і режимів експлуатації, приймається гіпотеза про вид теоретичного розподілу відмов.

Експоненціальне розподіл. Причини відмов - раптові концентрації навантажень всередині або поза об'єктом. Відмова настає при перевищенні навантаженням допустимої величини, інтенсивність відмов тут не залежить від напрацювання. Такий розподіл характерно для великого класу раптових відмов, що з'являються без будь-яких попередніх симптомів. Близькі до експоненціального розподілу відмови об'єкта, що складається з великого числа елементів, ймовірності відмов яких малі.

Нормальний розподіл. Цей розподіл має випадкова величина, що представляє собою суму великого числа незалежних випадкових величин, причому всі вони в загальній сумі грають відносно малу роль. У практиці експлуатації нормальний розподіл характерно для відмов, пов'язаних з накопиченням пошкоджень в матеріалі конструкції, що відбувається з постійною або приблизно постійною швидкістю розвитку. Такими відмовами можуть бути знос, старіння матеріалів, наклеп, що відбуваються з постійною швидкістю.

Логарифмічно-нормальний розподіл. Цьому розподілу можуть підкорятися відмови, мають наступну причину. Кожне вплив зовнішнього навантаження призводить до накопичення ушкоджень в матеріалі деталі. При цьому величина додається пошкодження пропорційна вже накопиченому. Відмова настає при перевищенні накопиченого пошкодження певної величини. Прикладом такої відмови можуть служити втомні руйнування деталей технічних систем.

Розподілу Вейбулла зазвичай відповідає фізична модель так званого «слабкої ланки». Об'єкт представляється що складається з великого числа елементів, накопичення ушкоджень в яких йде незалежно один від одного. Відмова об'єкта настає при відмові одного будь-якого елементу. При цьому незалежно від типу розподілу відмов кожного елемента, розподіл відмов об'єкта буде Вейбулловскім. Воно добре описує усталостную довговічність транспортних конструкцій і пріработочние відмови.

Розподіл Рейлі характерно для об'єктів, що мають інтенсивні знос, старіння, накопичення ушкоджень.

Рівномірний розподіл застосовується, якщо відсутні фізичні причини, що призводять до вищеперелічених моделям, а гістограма щільності не має явно вираженої тенденції до збільшення або зменшення.

Визначення невідомих параметрів закону розподілу. Виходячи з виду обраного закону розподілу відмов, вибирається метод визначення невідомих параметрів.

Для знаходження параметрів експоненціального закону розподілу і закону розподілу Вейбулла рекомендується застосовувати метод максимуму правдоподібності.

Останній метод дає просте вираження для обчислення параметра l експоненціального закону розподілу:

де - час спостереження.

Деяку трудність тут представляє знаходження параметрів розподілу Вейбулла. Їх можна знайти шляхом графічного рішення системи рівнянь, які також отримані методом максимальної правдоподібності:

Для цього будуються криві t0 = i1 (m) і t0 = i2 (m) по ряду значень m. Точка перетину цих кривих дає значення шуканих параметрів t0 і m (рис. 1).

Параметри нормального і логарифмічно-нормального законів розподілу можна знайти з використанням методу поділяють розбиття. Суть методу полягає в прирівнювання значень теоретичної і емпіричної функції розподілів при деяких значеннях напрацювання і складанні системи рівнянь, число яких дорівнює числу невідомих параметрів закону розподілу. Для нормального закону розподілу ця система буде складатися з двох рівнянь:

де mt - математичне очікування;

st - середньоквадратичне відхилення;

Q *. I - емпірична і теоретична функції розподілу.

Для більшої точності визначення параметрів розподілу значення напрацювання t1 і t2 рекомендується вибирати в першій і останній третинах варіаційного ряду. Так як Q * (ti) = 1-P * (ti), а I (mt. St. Ti) = Ф [(ti -mt) / st], де Ф - стандартна нормальна функція розподілу (таблиця 2 Додатка 2) , то з системи рівнянь (5) можна отримати наступну систему:

де zi - аргумент функції Ф (zi) при її значенні, рівному F * (ti).

Рішення системи (6) дає:

Для логарифмічно-нормального розподілу:

де - ml і sl - параметри логарифмічно нормального розподілу.

Перевірка правильності прийнятої гіпотези здійснюється за допомогою критерію Пірсона. Для його використання необхідно визначити деяку величину U, що характеризує ступінь розбіжності теоретичного та емпіричного розподілів, і оцінити значимо це розбіжність або не значима. Якщо в якості розбіжності прийняти величину:

де qi (Dti) - теоретична ймовірність відмови в інтервалі Dti. то вона не буде залежати від виду розподілу відмов, і при збільшенні числа N буде наближатися до розподілу c 2. тобто U 2 = c 2.

При експоненційному розподілі значення qi (Dti) визначається виразом:

де ti-1. ti - напрацювання, що відповідають початку і кінця інтервалу Dti.

При нормальному розподілі

Розподіл c 2 залежить від числа ступенів свободи r, що дорівнює числу розрядів k мінус число зв'язків, накладених на qi *. Число зв'язків дорівнює числу невідомих параметрів розподілу плюс одиниця (додаткова «зв'язок» - Число розрядів k дорівнює числу інтервалів розбиття варіаційного ряду плюс одиниця, так як додається інтервал від Т (tN) до + ¥:

де s - число параметрів закону розподілу.

Розподіл c 2 представлено в табличному вигляді (таблиця 3 Додатка 2). По ньому для кожного значення c 2 і числа ступенів свободи r можна знайти ймовірність того, що величина, розподілена за законом c 2. перевершить табличне значення.

Після перевірки правильності висунутої гіпотези про вид закону розподілу будуються графіки теоретичного розподілу. Будуються графіки для характеристик i (t), l (t) і P (t) в інтервалі часу 0 - (1,5-2) tр.

Оцінка надійності об'єкта. Здійснюється шляхом порівняння розрахункових і нормативних значень деяких показників надійності. Як правило, в якості таких показників приймається напрацювання до першої відмови tg при заданому значенні нормативної ймовірності безвідмовної роботи g, або за величиною коефіцієнта К1000. рівному числу відмов на 1000 годин напрацювання.

3. ПРИКЛАДИ РОЗРАХУНКУ

Приклад 1. Визначити закон розподілу часу напрацювання на відмову вироби і виконати оцінку надійності вироби після відпрацювання ресурсу.

Дано: час спостереження ta = 1000 годин;

ресурс виробу становить tр = 1500 годин;

число виробів N = 383;

число несправних виробів n = 16;

час напрацювання до відмов окремих екземплярів ti. 50, 70, 150, 220, 250, 400, 480, 500, 590, 640, 660, 790, 880, 910, 940, 980 годин.

Угруповання даних. Інтервал напрацювання 0. 1000 годин розбиваємо на розряди за правилом Старджен:

Число розрядів приймаємо рівним 5 c величиною Dti = 200 ч.

Розрахунок емпіричних характеристик надійності. За формулами (2) обчислюємо в кожному розряді значення fi * (t), li * (t) і Pi * (t). Результати розрахунків представляються в табличному вигляді (таблиця 1).

Розрахунок емпіричних характеристик

Слід пам'ятати, що Nіi - це різниця між числом об'єктів N. над якими велося спостереження, і числом об'єктів, які відмовили на початок інтервалу i. Наприклад, для четвертого інтервалу Nі4 = 383-3-2-4 = 374.

Вибір теоретичного закону розподілу. За даними таблиці 1 будуються гістограми емпіричного розподілу (рис. 2).

Мал. 2. Гістограми емпіричного розподілу:

а) щільність розподілу; б) інтенсивність відмов;

в) ймовірність безвідмовної роботи

Приймемо, що спостережуване виріб є складним об'єктом, що складається з безлічі елементів, ймовірність відмов яких досить мала. Отже, можна висунути гіпотезу, що його відмови розподілені за експоненціальним законом. Цьому припущенню суперечить і зовнішній вигляд гістограм.

Визначення параметрів закону розподілу. Експонентний закон розподілу є однопараметричним, тобто для його повного визначення необхідно знайти один параметр - інтенсивність відмов l. У цьому прикладі параметр l можна обчислити з використанням методу максимуму правдоподібності за виразом (3)

Звідси середній час напрацювання до відмови ТСР = 1 / l = 1 / 4,088 * 10 -5 = 24460 ч.

Перевірка правильності прийнятої гіпотези здійснюється за допомогою критерію Пірсона, розрахованого за виразом (10). Число розрядів при розрахунку критерію на одиницю більше числа розрядів розбиття варіаційного ряду k, так як додається інтервал від ta до + ¥. Результати розрахунків представлені в таблиці 2

Розрахунок критерію Пірсона

Величина qi (Dti) розраховується за виразом (11). Наприклад, для другого інтервалу:

Число ступенів свободи r в разі шести розрядів таблиці і одного параметра закону розподілу, відповідно до (13), дорівнює 4 (r = 6-1-1). Поставивши собі за рівнем значущості a = 10%, по таблиці 3 Додатка 2 в залежності від P = 1-a = 90% і числа ступенів свободи r = 4 знаходимо критичне значення c 2 кр = 7,78. Підрахована значення U 2 = 0,99397 не влучає у критичну область (7,78; + ¥), отже, прийнята гіпотеза про експоненційному законі розподілу суперечить статистичними даними.

Побудова графіків теоретичного розподілу. Побудова графіків функцій fi (t), li (t) і Pi (t) виробляємо після розрахунку їх значень за формулами (таблиця 1 Додатка 2):

Розрахункові дані рекомендується звести в таблицю.

Приклад 2. Визначити закон розподілу несправностей підшипників опор електродвигуна.

Дано: час спостереження ta = 1000 годин;

ресурс tр = 3000 годин;

число виробів N = 352;

число несправних виробів n = 18;

час напрацювання до відмов окремих екземплярів ti. 60, 110, 110, 110, 130, 170, 200, 230, 260, 280, 280, 370, 510, 570, 780, 790, 920, 1000 годин.

Угруповання даних. Інтервал напрацювання 0. 1000 годин розбиваємо на розряди за правилом Старджен:

Число розрядів приймаємо рівним 5 величиною Dti = 200 ч.