Розподіл хі-квадрат

Розглянемо Розподіл ХІ-квадрат. За допомогою функції MS EXCELХІ2.РАСП () побудуємо графіки функції розподілу і щільності ймовірності, пояснимо застосування цього розподілу для цілей математичної статистики.

Розподіл ХІ-квадрат (Х 2. ХІ2, англ.Chi-squareddistribution) застосовується в різних методах математичної статистики:

Визначення. Якщо x1. x2. ..., xn незалежні випадкові величини, розподілені за стандартним нормальним законом N (0; 1), то розподіл випадкової величини Y = x 1 2 + x 2 2 + ... + x n 2 має розподіл Х 2 з n ступенями свободи.

РаспределеніеХ 2 залежить від одного параметра, який називається ступенем свободи (df, degreesoffreedom). Наприклад, при побудові довірчих інтервалів для оцінки дисперсії число ступенів свободи дорівнює df = n-1, де n - розмір вибірки.

Щільність розподілу 2 виражається формулою:

графіки функцій

У файлі прикладу на аркуші Графік наведені графіки щільності розподілу ймовірності та інтегральної функції розподілу.

Корисна властивість ХІ2-розподілу

Нехай x1. x2. ..., xn незалежні випадкові величини, розподілені по нормальному закону з однаковими параметрами μ і σ, а Xcр є арифметичним середнім цих величин x.
Тоді випадкова величина y дорівнює

Має Х 2-розподіл з n-1 ступенем свободи. Використовуючи визначення дисперсії вибірки вищевказане вираз можна переписати таким чином:

Отже, вибіркове розподіл статистики y, при вибірці з нормального розподілу. має Х 2-розподіл з n-1 ступенем свободи.

Це властивість нам буде потрібно при побудові довірчого інтервалу при оцінці дисперсії розподілу. Оскільки дисперсія може бути тільки позитивним числом, а Х 2-розподіл використовується для його оцінки, то y д.б.н.> 0, як і зазначено в ухвалі.

ХІ2-розподіл в MS EXCEL

Примітка. Оскільки ХІ2-розподіл є окремим випадком гамма розподілу. то формула = ГАММА.РАСП (x; n / 2; 2; ІСТИНА) для цілого позитивного n повертає той же результат, що і формула = ХІ2.РАСП (x; n; ІСТИНА) або = 1-ХІ2.РАСП.ПХ ( x; n). А формула = ГАММА.РАСП (x; n / 2; 2; ЛОЖЬ) повертає той же результат, що і формула = ХІ2.РАСП (x; n; ЛОЖЬ). тобто щільність вероятностіХІ2-розподілу.

Функція ХІ2.РАСП.ПХ () повертає функцію розподілу. точніше - правостороннім ймовірність, тобто P. Очевидно, що справедливо рівність
= ХІ2.РАСП.ПХ (x; n) + ХІ2.РАСП (x; n; ІСТИНА) = 1
тому перший доданок обчислює ймовірність P, а друге P.

ХІ2.РАСП () є єдиною функцією, яка повертає щільність ймовірності ХІ2-розподілу (третій аргумент повинен бути рівним БРЕХНЯ). Решта функцій повертають інтегральну функцію розподілу. тобто ймовірність того, що випадкова величина прийме значення з зазначеного діапазону: P.

Вищевказані функції MS EXCEL наведені в файлі прикладу на аркуші Функції.

Знайдемо ймовірність, що випадкова величина Х прийме значення менше або рівне заданого x. P. Це можна зробити декількома функціями:

= ХІ2.РАСП (x; n; ІСТИНА)
= 1-ХІ2.РАСП.ПХ (x; n)
= 1-ХІ2РАСП (x; n)

Функція ХІ2.РАСП.ПХ () повертає ймовірність P, так звану правостороннім ймовірність, тому, щоб знайти P, необхідно відняти її результат від 1.

Знайдемо ймовірність, що випадкова величина Х прийме значення більше заданого x. P. Це можна зробити декількома функціями:

= 1-ХІ2.РАСП (x; n; ІСТИНА)
= ХІ2.РАСП.ПХ (x; n)
= ХІ2РАСП (x; n)

Зворотна функція ХІ2-розподілу

Зворотна функція використовується для обчислення альфа -квантілей. тобто для обчислення значень x при заданої ймовірності альфа. причому х повинен задовольняти висловом P = альфа.

Функція ХІ2.ОБР () використовується для обчислення довірчих інтервалів дисперсії нормального розподілу.

Функція ХІ2.ОБР.ПХ () використовується для обчислення верхнього квантиля. тобто якщо в якості аргументу функції зазначений рівень значущості, наприклад 0,05, то функція поверне таке значення випадкової величини х, для якого P = 0,05. В якості порівняння: функція ХІ2.ОБР () поверне таке значення випадкової величини х, для якого P = 0,05.

Вищевказані функції можна взаимозаменять, тому що такі формули повертають один і той же результат:
= ХІ.ОБР (альфа; n)
= ХІ2.ОБР.ПХ (1-альфа; n)
= ХІ2ОБР (1 альфа; n)

Деякі приклади розрахунків наведені у файлі прикладу на аркуші Функції.

Функції MS EXCEL, що використовують ХІ2-розподіл

Нижче наведено відповідність українських та англійських назв функцій:
ХІ2.РАСП.ПХ () - англ. назва CHISQ.DIST.RT, тобто CHI-SQuared DISTribution Right Tail, the right-tailed Chi-square (d) distribution
ХІ2.ОБР () - англ. назва CHISQ.INV, тобто CHI-SQuared distribution INVerse
ХІ2.ПХ.ОБР () - англ. назва CHISQ.INV.RT, тобто CHI-SQuared distribution INVerse Right Tail
ХІ2РАСП () - англ. назва CHIDIST, функція еквівалентна CHISQ.DIST.RT
ХІ2ОБР () - англ. назва CHIINV, тобто CHI-SQuared distribution INVerse

Оцінка параметрів розподілу

Оскільки зазвичай ХІ2-розподіл використовується для цілей математичної статистики (обчислення довірчих інтервалів, перевірки гіпотез та ін.), і практично ніколи для побудови моделей реальних величин, то для цього розподілу обговорення оцінки параметрів розподілу тут не проводиться.

Наближення ХІ2-розподілу нормальним розподілом

При числі ступенів свободи n> 30 розподіл Х 2 добре апроксимується нормальним розподілом з середнім значенням μ = n і дисперсією σ = 2 * n (див. Файл прикладу лист Наближення).