Ряд Діріхле 1

Для терміна «Діріхле» див. Також інші значення.

Поруч Дирихле називається ряд виду

Абсцисою збіжності ряду Діріхле називається таке число $\backslash \; sigma\_c$, що при $\backslash \; Operatorname\; \backslash ,\; s>\; \backslash \; sigma\_c$ він сходиться; абсциссой абсолютної збіжності називається таке число $\backslash \; sigma\_a$, що при $\backslash \; Operatorname\; \backslash ,\; s>\; \backslash \; sigma\_a$ ряд сходиться абсолютно. Для будь-якого ряду Діріхле справедливо співвідношення $0\; \backslash \; leqslant\; \backslash \; sigma\_a-\; \backslash \; sigma\_c\; \backslash \; leqslant\; 1$ (якщо $\backslash \; sigma\_c$ і $\backslash \; sigma\_a$ кінцеві).

Цей ряд відіграє значну роль в теорії чисел. Найбільш поширеним прикладом ряду Діріхле є дзета-функція Рімана. а також L-функція Діріхле. Ряд названий на честь Густава Діріхле.

Збіжність в різних точках

Якщо деякий ряд сходиться в комплексній точці $s\_0\; =\; \backslash \; sigma\_0\; +\; t\_0\; i$, то цей же ряд сходиться в будь-якій точці $s\; =\; \backslash \; sigma\; +\; t\; i$, для котрої $\backslash \; Sigma>\; \backslash \; sigma\_0$. З цього випливає, що існує деяка точка $\backslash \; Sigma\; =\; \backslash \; sigma\_c$ така, що при $\backslash \; Operatorname\; s>\; \backslash \; sigma\_c$ ряд сходиться, а при --- розходиться. Така точка називається абсцисою збіжності.

Абсцисою абсолютної збіжності $\backslash \; sigma\_a$ для ряду $\backslash \; Sum\; \backslash \; limits\; \_\; ^>$ називається точка абсциса збіжності ряду $\backslash \; Sum\; \backslash \; limits\; \_\; ^>$. Справедливо твердження про те, що $0\; \backslash \; leqslant\; \backslash \; sigma\_a-\; \backslash \; sigma\_c\; \backslash \; leqslant\; 1$.

Поведінка функції при $\backslash \; Operatorname\; s$ може бути різним. Едмунд Ландау показав, що точка $s\; =\; \backslash \; sigma\_c$ є особливою для деякого ряду Діріхле, якщо $\backslash \; sigma\_c$ - його абсциса збіжності.

Напишіть відгук про статтю "Ряд Діріхле"

Уривок, що характеризує Ряд Діріхле

Ах, ви, сіни мої, сіни!
«Сені нові мої ...», підхопили двадцять голосів, і ложкар, незважаючи на тяжкість амуніції, жваво вискочив вперед і пішов задом перед ротою, пошевеливая плечима і погрожуючи комусь ложками. Солдати, в такт пісні розмахуючи руками, йшли просторим кроком, мимоволі потрапляючи в ногу. Ззаду роти почулися звуки коліс, похрусківанье ресор і тупіт коней.
Кутузов зі свитою повертався в місто. Головнокомандувач дав знак, щоб люди продовжували йти вільно, і на його обличчі і на всіх обличчях його свити виразилося задоволення при звуках пісні, побачивши скакав солдата і весело і жваво йдуть солдат роти. У другому ряду, з правого флангу, з якого коляска обганяла роти, мимоволі кидався в очі блакитноокий солдат, Долохов, який особливо жваво і граціозно йшов в такт пісні і дивився на обличчя проїжджаючих з таким виразом, наче він шкодував всіх, хто не йшов в цей час з ротою. Гусарський корнет з почту Кутузова, передражнювати полкового командира, відстав від коляски і під'їхав до Долохову.
Гусарський корнет Жерков один час в Харкові належав до того буйному суспільству, яким керував Долохов. За кордоном Жерков зустрів Долохова солдатом, але не вважав за потрібне дізнатися його. Тепер, після розмови Кутузова з розжалуваним, він з радістю старого друга звернувся до нього:
- Друг сердечний, ти як? - сказав він при звуках пісні, рівняючи крок свого коня з кроком роти.
- Я як? - відповідав холодно Долохов, - як бачиш.
Жвава пісня надавала особливого значення тону розв'язної веселості, з якої говорив Жерков, і навмисної холодності відповідей Долохова.
- Ну, як живеш? Чи ладнаєш з начальством? - запитав Жерков.
- Нічого, хороші люди. Ти як в штаб затесався?
- прикомандирований, чергую.
Вони помовчали.
«Випускала сокола та з правого рукава», говорила пісня, мимоволі порушуючи бадьорий, веселий почуття. Розмова їх, ймовірно, був би інший, якби вони говорили не при звуках пісні.
- Що правда, австрійців побили? - запитав Долохов.

Персональні інструменти

Інструменти

На інших мовах