Ноу Інти, лекція, попередні відомості

Події та операції над ними

Простір елементарних фіналів. Основним поняттям теорії ймовірностей є безліч всіх можливих результатів даного випадкового експерименту.

Визначення 1. Простором елементарних наслідків називається безліч, що містить всі можливі взаємовиключні результати даного випадкового експерименту. Елементи множини називаються елементарними наслідками і позначаються літерою.

Відзначимо відразу, що будь-який непорожній безліч можна вважати простором елементарних фіналів якогось випадкового експерименту.

Визначення 2. Подіями називаються підмножини множини. Кажуть, що відбулася подія, якщо експеримент завершився одним з елементарних фіналів, що входять в безліч.

Зауваження. Взагалі кажучи, можна називати подіями не будь-які підмножини множини, а лише елементи деякого набору підмножин. Про сенсі такого обмеження ми поговоримо пізніше.

Отже, елементарний результат - це дрібний неподільний результат експерименту, а подія може складатися з одного або декількох випадків.

Нагадаємо, що кінцеві і рахункові безлічі зручно задавати перерахуванням їх елементів. Наприклад, - безліч, що складається з перших ста натуральних чисел. Незліченні безлічі зазвичай задають зазначенням властивості, яким володіють всі елементи множини. Так, - безліч дійсних чисел з інтервалу.

Приклад 1. Один раз підкидають гральну кістку. Розглянемо простір елементарних фіналів ,,,,, Елементарні наслідки тут відповідають числу очок, що випали.

Подія, відбудеться, якщо випаде одне або два очки; подія ,, означає, що випаде непарне число очок. Подія складається з одного елементарного результату і означає появу шести очок.

Приклад 2. підкидають дві гральні кістки. Будемо вважати їх помітними і назвемо одну з них першою, іншу - другий. Простором елементарних фіналів є безліч пар чисел де - число очок, що випали на першій кістки, - на другий. . У цій множині елементарних фіналів:

Зауважимо, що для симетричних кісток всі ці результатів рівноможливими: жодна з цих комбінацій не має більше шансів випасти, ніж інша. Дійсно, на першій кістки з рівними шансами випадає будь-яка грань. Це означає, що результат кидання двох кісток має стільки ж шансів опинитися в першому рядку матриці (1), що і в другій, у третій і т. Д. Але на другий кістки знову з однаковими шансами випадає будь-яка грань, тому і кожне місце в рядку рівно можливих.

Подія "на першій кістки випаде одне очко" можна записати так:; подія "на другий кістки випаде одне очко" запишеться так:; подія означає, що сума очок дорівнює чотирьом; подія - на кістках випаде однакове число очок.

Приклад 3. підкидають дві невиразні гральні кістки. Елементарними наслідками будемо вважати пари чисел де. Наприклад, елементарний результат трапляється, якщо на одній з кісток випадає одне очко, на інший - два очка. У безлічі двадцять один результат:

Для симетричних кісток ці результати рівноможливими вже не будуть: наприклад, результат має вдвічі більше шансів з'явитися, ніж результат. Ми просто перестали розрізняти результати з прикладу 2, симетричні один одному щодо головної діагоналі матриці (1).

Тепер подія "сума випали очок дорівнює чотирьом" складається з двох елементарних фіналів і. Подія "на кістках випаде однакове число очок" як і раніше включає шість випадків. Слова "на першій кістки випаде одне очко" ніякого події вже не описують, а подія означає, що хоча б на одній з кісток випало одне очко (пор. З прикладом 2).

Приклад 4. На поверхню столу кидається монета. Результатом експерименту можна вважати положення центру монети. Простір елементарних фіналів такого експерименту - безліч всіх точок столу. Воно нескінченно і незліченно. Подією можна назвати, наприклад, попадання центру монети на аркуш паперу, що лежить на столі, в ліву чи праву половину столу.

Приклад 5. Монета підкидається до тих пір, поки не випаде вгору гербом. Простір елементарних фіналів є нескінченним, але рахунковим безліччю:, де означає випадання решки, а - випадання герба при одному підкиданні. Подія "герб випав при кидку з парним номером" виглядає так:

Приклад 6. У коробці лежать один чорний і два білих кулі. З коробки дістають навмання одну кулю.

Можна визначити два різних простору елементарних фіналів. Перше з них складається з двох випадків - міг з'явитися біла куля або чорний. Ці результати, очевидно, не будуть рівно можливими: поява білої кулі вдвічі швидше, ніж поява чорного.

Якщо ми хочемо мати справу з рівноможливими елементарними наслідками, кулі слід занумерувати (або розрізняти як-небудь інакше). Тоді безліч буде складатися з трьох рівно можливих елементарних фіналів.

Приклад 7. У коробці лежать один чорний і два білих кулі. З коробки дістають навмання дві кулі. Порядок проходження куль нам байдужий. Занумеруем кулі, щоб елементарні результати були рівно можливими (це може виявитися зручним). Простір елементарних фіналів складається з трьох елементів:

Подія "вийняті два білих кулі" включає один результат а подія "вийняті різнокольорові кулі" складається з двох випадків:.

Можна, як в прикладі 6, розглянути простір елементарних фіналів, що складається з двох елементів: - вийняті два білих кулі або кулі різних кольорів. Але в такому просторі другий результат має вдвічі більше шансів трапитися, ніж перший.