різниця множин

Різниця двох множин - теоретико-множинна операція, результатом якої є безліч, в яке входять всі елементи першого безлічі, що не входять в другу безліч. Зазвичай різниця множин A і B позначається як A ∖ B. але іноді можна зустріти позначення A - B і A ~ B.

Нехай A і B - два зазначених у визначенні множини, тоді їх різниця визначається (на теоретико-множині мовою):

Це безліч часто називають доповненням множини B до безлічі A. (Тільки коли безліч В повністю належить множині А)

Зазвичай передбачається, що розглядаються підмножини одного і того ж безлічі, яке, в цьому випадку називають універсумом. скажімо, X. Тоді можна розглядати разом з кожним безліччю A ⊂ X і його відносне доповнення X ∖ A. при позначенні якого часто опускається значок універсуму: ∖ A [джерело не вказано 324 дня]; при цьому йдеться, що ∖ A - (просто) доповнення безлічі (без вказівки, доповненням до чого є дане безліч).

З урахуванням даного зауваження, виявляється, що A ∖ B = A ∩ (∖ B). тобто доповнення безлічі B до безлічі A є перетин безлічі A і доповнення безлічі B.

Операція різниці множин не є за визначенням симетричною по відношенню до вхідних в неї безлічам. Симетричний варіант теоретико-множинної різниці двох множин описується поняттям симетричної різниці.

Нехай A. B. C. D - довільні множини.

У пакеті Mathematica операція реалізована за допомогою функції Complement. У пакеті MATLAB вона ж реалізована за допомогою функції setdiff.

У мові програмування Pascal (а також в його об'єктних розширенні Object Pascal) операція різниці множин представлена ​​оператором «-», обома операндами і результатом виконання якого є значення типу set.

визначення

Якщо з контексту випливає, що всі розглянуті безлічі є підмножинами деякого фіксованого універсуму X. то визначається операція доповнення: