Рівняння Бернуллі онлайн
Диференціальне рівняння y '+ a0 (x) y = b (x) y n називається рівнянням Бернуллі.
Так як при n = 0 виходить лінійне рівняння, а при n = 1 - з перемінними, то припустимо, що n ≠ 0 і n ≠ 1. Розділимо обидві частини (1) на y n. Тоді Поклавши, маємо. Підставляючи цей вираз, отримаємо, або, що те ж саме, z '+ (1-n) a0 (x) z = (1-n) b (x). Це лінійне рівняння, яке ми вирішувати вміємо.
Приклад 1. Знайти загальний розв'язок рівняння y '+ 2xy = 2xy 3. Це рівняння Бернуллі при n = 3. Розділивши обидві частини рівняння на y 3 отримуємо Робимо заміну Тоді і тому рівняння листується в вигляді -z '+ 4xz = 4x. Вирішуючи це рівняння методом варіації довільної сталої. отримуємо звідки або, що те ж саме,.
Приклад 2. y '+ y + y 2 = 0
y '+ y = -y 2
Розділимо на y 2
y '/ y 2 + 1 / y = -1
Робимо заміну:
z = 1 / y n-1. тобто z = 1 / y 2-1 = 1 / y
z = 1 / y
z '= -y' / y 2
Отримуємо: -z '+ z = -1 або z' - z = 1
Далі треба знайти z і висловити через нього y = 1 / z.
Приклад 3. xy '+ 2y + x 5 y 3 e x = 0
Рішення.
а) Рішення через рівняння Бернуллі.
Уявімо у вигляді: xy '+ 2y = -x 5 y 3 e x. Це рівняння Бернуллі при n = 3. Розділивши обидві частини рівняння на y 3 отримуємо: xy '/ y 3 + 2 / y 2 = -x 5 e x. Робимо заміну: z = 1 / y 2. Тоді z '= - 2 / y 3 і тому рівняння листується в вигляді: -xz' / 2 + 2z = -x 5 e x. Це неоднорідне рівняння. Розглянемо відповідне однорідне рівняння: -xz '/ 2 + 2z = 0
1. Вирішуючи його, отримуємо: z '= 4z / x
Інтегруючи, отримуємо:
ln (z) = 4ln (z)
z = x 4. Шукаємо тепер рішення вихідного рівняння у вигляді: y (x) = C (x) x 4. y '(x) = C (x)' x 4 + C (x) (x 4) '
-x / 2 (4C (x) x 3 + C (x) 'x 4) + 2y = -x 5 e x
-C (x) 'x 5/2 = -x 5 e x або C (x)' = 2e x. Інтегруючи, отримуємо: C (x) = ∫2e x dx = 2e x + C
З умови y (x) = C (x) y, отримуємо: y (x) = C (x) y = x 4 (C + 2e x) або y = Cx 4 + 2x 4 e x. Оскільки z = 1 / y 2. то отримаємо: 1 / y 2 = Cx 4 + 2x 4 e x
б) рішення через заміну змінних
y = uv
x (u'v + uv ') + 2uv + x 5 u 3 v 3 e x = 0
v (x u '+ 2u) + xuv' + x 5 u 3 v 3 e x = 0
a) xu '+ 2u = 0
або ln (u) = ln (x -2). Звідки u = x -2
b) xuv '+ x 5 u 3 v 3 e x = 0
x x -2 v '+ x 5 x -6 v 3 e x = 0
v '/ x + v 3 e x / x = 0
v '+ v 3 e x = 0
