Рішення задач з кінематики
Рішення задач з кінематики равнопеременное руху традиційно викликає в учнів труднощі, що пов'язано в основному з тим, що тут вперше постає проблема формалізації фізичної задачі, тобто переведення її з мови "текстової задачі" з фізики на мову математики. До цього учням доводилося в основному вирішувати завдання, якщо можна так висловитися, "за формулами", а тепер необхідно осмислити завдання не тільки з точки зору фізики, а й зуміти записати її в термінах рівнянь кінематики і потім з цих рівнянь, спираючись на умову задачі , отримати потрібні "формули". У даній роботі представлений хід оглядового уроку по цій темі.
Щоб навчитися вирішувати завдання з кінематики потрібно перш за все вміти правильно вибрати систему відліку (СО), яка включає в себе:
- Точку відліку (вибираємо довільно з міркувань зручності)
- Систему координат, пов'язану з точкою відліку
- Початок відліку часу (лічильник часу, вибираємо з міркувань зручності).
Взагалі важливо, щоб учні усвідомлювали, що для вирішення задач з кінематики необхідно:
Вибрати СО відповідним чином, щоб в цій СО рівняння кінематики брали найбільш простий вигляд. Обов'язково звернути увагу на вибір початку відліку часу.
Зробити креслення, що ілюструє описане в умові завдання явище: накреслити систему координат, траєкторію руху, вектори швидкостей і прискорень.
Записати основні рівняння кінематики равнопеременное руху в обраній СО для довільного моменту часу:
де x0, y0 - початкове положення тіла, v0x, v0y - проекції початкової швидкості тіла, ax, ay - проекції прискорень.
4. Записати рівняння (1) - (4) для характерних моментів часу, з яких знаходити необхідні в умові завдання величини, тобто отримати робочі формули.
Важливо, щоб учні розуміли, що можна отримати рішення будь-якої задачі кінематики равнопеременное руху, якщо записані основні рівняння (1) - (4). Важливо також, щоб вони усвідомлювали, що вид цих рівнянь змінюється в залежності від вибору СО. У зв'язку з цим, вирішимо кілька завдань, що ілюструють сказане.
Завдання 1. Тенісист при подачі запускає м'яч з висоти h над землею. На якій відстані від подає м'яч вдариться об землю, якщо початкова швидкість дорівнює v0 і спрямована вгору під кутом до горизонту?
Рішення: а). Точку відліку (початок координат) помістимо в точку на поверхні землі, де стояв тенісист в момент удару. Час почнемо відраховувати від моменту удару по м'ячу. На рис.1 зображена система координат XOY, траєкторія руху м'яча, вектора швидкості і прискорення.
У вибраній СО початкові умови мають вигляд: x0 = 0, y0 = h, ax = 0, ax = - g,
і кінематичні рівняння (1) - (4) запишуться у вигляді:
Необхідну в умові завдання відстань D (дальність польоту) знайдемо з умови: D = x (tn), де час польоту tn визначається зі співвідношення y (tn) = 0. т.е.можем записати рівняння:
При вирішенні цього квадратного рівняння зручніше записувати його в наведеному відеx 2 + 2qx + + q = 0 і знаходити коріння по формулі
Досвід показує, що учні часто не знають цього і знаходять коріння такого рівняння по загальній формулі, що ускладнює викладення. Перепишемо рівняння у вигляді
тоді його рішення
Оскільки t> = 0, то фізичний зміст має корінь
Тепер з умови D = x (tn) отримаємо робочу формулу
б). Вирішимо цю задачу, вибравши за точку відліку (початок координат) точку, де знаходився м'яч в момент удару. Час і раніше відраховуємо від моменту удару по м'ячу. На рис.2 зображена система координат XOY, траєкторія руху м'яча, вектора швидкості і прискорення.
У вибраній СО початкові умови мають вигляд: x0 = 0, y0 = 0, ax = 0, ax = - g,
Кінематичні рівняння (1) - (4) тепер запишуться так
і час польоту tn м'яча до землі знайдеться з умови: y (tn) = - h. Далі рішення задачі повторює спосіб а).
У розглянутій задачі було байдуже, де помістити початок координат, однак в задачах, де висота, на якій відбувається подія, не задана, початок координат найкраще поміщати саме в цю точку на невідомої висоті. Напрямок осей вибирається з міркувань зручності.
Завдання 2. Тіло, вільно падаюче з деякої висоти, останні h м шляху пройшло за час с. Який час і з якої висоти падало тіло?
Рішення: Початок координат помістимо в точку на невідомої висоті H, вісь Y направимо вертикально вниз. Час почнемо відраховувати з моменту початку падіння тіла. На рис.3 зображено система координат і прискорення вільного падіння тіла.
У вибраній СО v0y = 0, y0 = 0, ay = g і рівняння кінематики (1) - (4) зведуться до двох
Оскільки в умові завдання йдеться про вільне падіння тіла, то в будь-який момент часу його координата дорівнюватиме пройденого шляху. Висловимо з рівняння для координати відрізки шляху H і h. З рис.3 очевидно, що
де tn - час падіння тіла на землю. Отримали два рівняння з двома невідомими H і tn. Рівняння (6) після перетворень приймає вид
Підставляючи знайдене tn в (5), отримаємо шуканий вираз для висоти
Таким чином, необхідні в завданні величини визначені.
Слід зазначити, що якщо на розміщення початку відліку і напрямок осей системи координат учні ще звертають увагу, то вибір початку відліку часу зазвичай вислизає з їхніх поля зору. Це особливо помітно при вирішенні завдань, де в русі бере участь кілька тіл.
Якщо тіла починають свій рух одночасно, то відлік часу починається з моменту початку руху тіл, а кінематичні рівняння пишуться для кожного з тіл.
Завдання 3. Два тіла, відстань між якими l. починають одночасно рухатися назустріч один одному: перше - рівномірно зі швидкістю v. а друге - зі стану спокою равноускоренно з прискоренням a. Через якийсь час тіла зустрінуться?
Рішення: Помістимо початок координат в точку, де знаходилося перше тіло в початковий момент, вісь OX спрямуємо по руху першого тіла. Відлік часу почнемо з моменту початку руху тел. На рис.4 зображена вісь ОХ, вектори швидкостей і прискорень обох тел.
У цій СО x10 = 0, x20 = l. Рівняння руху для першого тіла
Рівняння руху для другого тіла
У момент зустрічі x1 (t) = x2 (t). t - час у дорозі до зустрічі, тобто
Завдання 4. Ліфт піднімається з прискоренням a. У той момент, коли його швидкість стала дорівнює v. зі стелі кабіни ліфта почав падати болт. Висота кабіни ліфта h. Обчислити час падіння болта.
Рішення: Зв'яжемо початок нерухомої системи координат з точкою, в якій знаходиться підлогу ліфта в момент, коли болт починає падати. Час почнемо відраховувати від моменту початку падіння болта. На рис.5 зображена система координат (вісь ОY), вектори швидкостей і прискорень.
Нехай yk vk - координата і проекція швидкості кабіни ліфта, YБ vб - координата і проекція швидкості болта. Для кабіни ліфта основні рівняння (1) - (4) запишуться у вигляді
а для болта візьмуть вид
Коли болт впаде на підлогу, буде виконуватися: yk (t) = YБ (t), де t - час падіння болта:
Найбільші труднощі викликає в учнів вибір початку відліку часу, і особливо запис рівнянь кінематики в разі, коли тіла, які беруть участь в русі, починають рухатися одночасно.
Завдання 5. Тіло з початковою швидкістю v0 і прискоренням a1 починає рухатися з деякою точки по прямолінійній траєкторії. За деякий час з тієї ж точки слідом за першим тілом починає рухатися інше тіло без початкової швидкості з прискоренням a2. Через якийсь час після виходу першого тіла друге тіло його наздожене?
Рішення: Початок координат зв'яжемо з точкою, з якої починають рухатися тіла. Вісь ОХ направимо по руху тел. Час почнемо відраховувати від початку руху першого тіла. На рис.6 зображена система координат, вектори швидкостей і прискорення.
У цій СО рівняння кінематики для першого тіла мають вигляд
а для другого тіла, з урахуванням того, що воно почало свій рух на секунд пізніше першого, запишуться у вигляді
На запис цих рівнянь потрібно особливо звернути увагу учнів. У момент, коли друге тіло наздожене найперше, буде виконуватися x1 (t) = x2 (t). тобто
Отримуємо квадратне рівняння для визначення часу t
З урахуванням того, що t> = 0 знаходимо
Завдання 6. Два тіла кинуті вертикально вгору з поверхні Землі з однієї точки слідом один за одним з інтервалом часу, з однаковими початковими швидкостями v0. Визначити, через який час тіла зустрінуться.
Рішення: Початок відліку помістимо в точку кидання. Ось OY спрямуємо вертикально вгору. Відлік часу почнемо з моменту кидання першого тіла. На рис.7 зображена вісь OY і вектора початкової швидкості і прискорення вільного падіння.
Основні рівняння кінематики для другого тіла з урахуванням того, що воно розпочала свій рух на секунд пізніше першого, запишуться у вигляді
Тіла "зустрінуться", коли y1 (t) = y2 (t). тобто отримуємо рівняння для знаходження шуканого часу "зустрічі"