Рішення задач з диференціальних рівнянь і рядам
4. вирішення завдань
4.1. Диференціальні рівняння першого порядку
із перемінними
Приклад 1. Hайти спільне рішення рівняння y ¢ cosx - (y + 1) sinx = 0.
Рішення. Розділимо змінні. Для цього помножимо обидві частини рівняння на множник, замінивши y ¢ на Рівняння набуде вигляду:
Проинтегрируем почленно це рівняння, отримаємо:
,
отримали загальний інтеграл рівняння.
Приклад 2. Знайти приватне рішення рівняння: якщо y = 3 при x = 1.
Рішення. Перепишемо рівняння у вигляді: 2ydy = (1 - 3x 2) dx. замінивши y ¢ на
Інтегруючи обидві частини рівняння, отримаємо:
- загальний інтеграл рівняння. Підставами початкові умови y = 3 при x = 1, отримаємо:
9 = 1 - 1 + c. звідси випливає, що c = 9. Шукалося приватне рішення має вигляд:
4.2. Однорідні диференціальні рівняння
першого порядку
Приклад. Проінтегрувати рівняння: 2x 2 dy = (x 2 + y 2) dx.
Рішення. Розділивши обидві частини рівняння на x 2 dx. отримаємо рівняння, права частина якого є функція відносини:
Покладемо в ньому, тоді y = ux. диференціюючи отримаємо рівняння із перемінними:
.
Після розділення змінних отримаємо рівняння з розділеними змінними:
.
Інтегруємо підставимо, отримаємо:
Зауваження. При поділі змінних ми ділили на x і на (u - 1) 2. що можливо лише при x ¹ 0 і u ¹ 1. Безпосередньою перевіркою легко переконатися, що x = 0 і u = 1 т. Е. Y = x. є також рішеннями даного рівняння, але вони не входять в загальний інтеграл. Такі рішення називаються особливими.
4.3. Лінійні диференціальні рівняння
першого порядку
Приклад 1. Знайти загальний розв'язок рівняння:.
Рішення. Поділимо обидві частини даного рівняння на (1 + x 2), отримаємо:
- лінійне рівняння. Вирішимо його, застосовуючи метод підстановки y = u × v. тоді Підставимо значення y і y ¢ в дане рівняння:
,
Виберемо функцію v так, щоб вираз в дужках дорівнювало нулю:
.
Тоді рівняння (4.1) запишемо у вигляді системи рівнянь:
Знайдемо функцію v з першого рівняння системи:
,
.
Інтегруючи, отримуємо:, нехай з1 = 1, v = 1 + x 2.
Підставами значення функції v в друге рівняння системи (4.2):
Знайдені функції u і v підставимо в рівність y = u × v. отримаємо:
- спільне рішення даного рівняння.
Розглянемо задачу, що приводить до диференціальних рівнянь.
Приклад 2. Знайти криву, що проходить через точку M0 (1, 4) і володіє тим властивістю, що відрізок будь-якої її дотичної, укладений між осями координат, ділиться навпіл в точці дотику.
Рішення. Зробимо креслення (рис. 4.1). Нехай M (x, y) - довільна точка шуканої кривої, AB - відрізок дотичної до кривої в даній точці, укладений між координатними осями. За умовою завдання BM = MA. Якщо OP - абсциса точки M. то DAMP
.
Але, PA = OP. тому, тобто OA = 2x. OB = 2y.
З іншого боку, так як
.
Отже, - диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними. Розділимо змінні, інтегруємо:
, .
Так як крива повинна проходити через точку M0 (1, 4), то підставляючи її координати в дане рівняння, знаходимо: 1 × 4 = с. з = 4. Таким чином, шукана крива визначається рівнянням.
Приклад 3. Човен уповільнює свій рух під дією опору води, яка пропорційна швидкості човна. Початкова швидкість човна 1,5 м / с, через 4 с швидкість її 1 м / с. Знайти швидкість руху човна через 12 секунд після початку руху.
Рішення. Згідно з другим законом динаміки диференціальне рівняння руху має вигляд:
Це диференціальне рівняння із перемінними. Поділяючи змінні, отримаємо:
,
Підставляючи початкові умови:, знаходимо:
Отже,. Значення k / m визначимо, підставляючи другий початковий умова: t = 4, v = 1,. Звідси випливає: Отже, отримали приватне рішення даного рівняння:
.
Підставами в це рівність t = 12, остаточно отримаємо:
.
4.4. Диференціальні рівняння вищих порядків,
допускають зниження порядку
Приклад 1. проинтегрировал рівняння:.
Рішення. Інтегруємо це рівняння послідовно два рази:
Приклад 2. Знайти загальний розв'язок рівняння:
Рішення. Це рівняння не містить явно шуканої функції y. Поклавши в рівнянні y ¢ = z. y ² = z ¢, отримаємо лінійне рівняння першого порядку щодо z (x):. Замінивши z = uv, z ¢ = u ¢ v + uv ¢, отримаємо:
Це рівняння замінимо системою рівнянь:
.
Вирішуємо перше рівняння системи:
інтегруємо:, С0 = 0, звідки або Підставами знайдене значення v в друге рівняння системи:. Розділимо змінні інтегруємо:, отже, Повертаючись до початкової змінної y. отримаємо:
.
Розділимо змінні, інтегруємо:
отримаємо загальне рішення даного рівняння:
Приклад 3. Знайти загальний розв'язок рівняння:
Рішення. Це диференціальне рівняння не містить в явному вигляді незалежну змінну x. Покладемо y ¢ = p. y ² = p (dp / dy), підставимо в дане рівняння:
Розділимо змінні або, інтегруємо:
, .
А так як p = y ¢, то отримаємо y ¢ = c1 (3 + y) - рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними. Розділимо їх: інтегруємо:
, , .
Отримали спільне рішення даного рівняння.
4.5. Лінійні диференціальні рівняння
другого порядку
з постійними коефіцієнтами
Для знаходження приватного рішення лінійного неоднорідного рівняння використовується метод невизначених коефіцієнтів. Приватне рішення лінійного неоднорідного рівняння для правих частин спеціального виду може бути знайдено з вигляду правої частини. Запишемо в таблицю найбільш часто зустрічаються випадки (табл. 4.1).
Права частина диференціального рівняння
коріння характеристичного
рівняння