Рішення нерівностей з модулем, математика, яка мені подобається

11. Рішення нерівностей з модулем

Для вирішення нерівностей з модулем слід розкрити модуль так само, як це робилося при вирішенні рівнянь, а потім вирішити отримані нерівності на відповідних множинах (іншими словами, вирішити отримані системи нерівностей).

Приклад 1. Вирішити нерівність

1) В цьому випадку нерівність рівносильна системі

x ^ 2-5x \ ge0, \\
x ^ 2-5x <6 \ end \ right. "title =" \ left \
x ^ 2-5x \ ge0, \\
x ^ 2-5x<6 \end\right." style="vertical-align: -17px; border: none;">

Перетворюючи перша нерівність до виду, отримаємо (див. Рис. 13):

Перетворюючи друга нерівність, отримаємо (див. Рис. 14):

Рішення нерівності. Рішенням системи є перетин рішень нерівностей, тобто.

2) В цьому випадку нерівність рівносильна системі:

Рішення першого нерівності (див. Малюнок до випадку 1)). Нерівність перетворюється до, його рішення (див. Рис. 15):

Рішення системи - перетин множин рішень двох нерівностей, тобто.

Загальне рішення вихідного нерівності - об'єднання рішень обох випадків.

Зауваження. В даному випадку простіше було з визначення модуля отримати подвійне нерівність, а потім його вирішити.

Приклад 2. Вирішити нерівність

Рішення. Точки і (коріння виразів, що стоять під модулем) розбивають всю числову вісь на три інтервалу, на кожному з яких слід розкрити модулі.

1) При виконується, і нерівність має вигляд, тобто. У цьому випадку відповідь.

2) При виконується, нерівність має вигляд, тобто. Це нерівність вірно при будь-яких значеннях змінної, і, з урахуванням того, що ми вирішуємо його на безлічі, отримуємо відповідь у другому випадку.

3) При виконується, нерівність перетворюється до, і рішення в цьому випадку. Загальне рішення нерівності --- об'єднання трьох отриманих відповідей.

Завдання. Вирішіть нерівності:

да уважно, я все одно не розумію як і що)

Ви повинні нанести коріння виразів під модулями на числову вісь, вийдуть проміжки, в Вашому випадку їх буде три. Далі слід на кожному з отриманих проміжків розкрити кожен модуль за визначенням: якщо під модулем невід'ємне число, то його модуль дорівнює самому числу, якщо отріцаетельное, то протилежного числу. Тепер потрібно вирішити три нерівності без модулів. Ну а потім знайти перетину з вихідними проміжками в кожному з трьох випадків - це і буде відповідь (об'єднання трьох відповідей). Робіть усе своєю чергою. Якщо щось не виходить, задавайте конкретні питання.

А якщо в якому - небудь випадку вийде так, що немає рішень ні при яких значеннях x, а в інших випадках рішення є?

допоможіть вирішити:
| X ^ 2-8 | ≤2x

Уляна, як вирішувати Ваш приклад, написано в прикладі 1.

У третьому випадку вирішеного прикладу 2 (там, де) результатом повинен бути напіввідкритий справа проміжок.
Правда, остаточну відповідь залишається колишнім.

| X-1 | - | x |<=0
Як решіь таке ...
Нічого в цьому не розумію.
Допоможіть будь ласка!!

Юлія, а якщо переписати так: і переформулювати - знайти всі такі, для яких відстань від до не перевищує відстані від до нуля (це за визначенням модуля)?

Стандартний алгоритм описаний в прикладі 2.

Спасибі, Єлизавета Андріївна, вийшло вирішити це нерівність і стандартним способом.

Іноді такого типу нерівності (як в пункті 8) зручно вирішувати, використовуючи наступні дві властивості:
.
1..
Тобто квадрат модуля числа дорівнює квадрату самого числа.
.
2. якщо числа і невід'ємні, то
.
Грубо кажучи, якщо обидві частини нерівності невід'ємні, то це нерівність можна "безболісно" зводити в квадрат.
==========================================
тоді нерівність

можна замінити таким:
.
А це нерівність, в свою чергу, таким:
.
Звідси:
.
Отже,.

10 Кирило:

11 Сміла:

Поясніть, звідки взялося таке визначення модуля | f (x) | = -f (x)?
Це визначення в принципі суперечить змісту модуля. Як з під модуля можна
отримати негативне число?

Володимир, це не визначення. Це рівність справедливо тільки для негативних. Наприклад,, а - число невід'ємне.