Рішення найпростіших тригонометричних нерівностей приклади і алгоритми

Головна nbsp> nbsp Wiki-підручник nbsp> nbsp Математика nbsp> nbsp10 клас nbsp> nbspРешеніе найпростіших тригонометричних нерівностей: приклади та алгоритми

Нерівності, що містять тригонометричні функції, при вирішенні зводяться до найпростіших нерівностей виду cos (t)> a, sint (t) = a і подібним. І вже найпростіші нерівності вирішуються. Розглянемо на різних прикладах способи вирішення найпростіших тригонометричних нерівностей.

Приклад 1. Вирішити нерівність sin (t)> = -1/2.

Малюємо одиничну окружність. Так як sin (t) за визначенням - це координата y, відзначаємо на осі Оу точку у = -1 / 2. Проводимо через неї пряму, паралельну осі Ох. У місцях перетину прямої з графіком одиничному колі відзначаємо точки Pt1 і Pt2. З'єднуємо двом відрізками початок координат з точками Pt1 і Pt2.

Рішенням даної нерівності будуть усі точки одиничного кола розташовані вище даних точок. Іншими словами рішенням буде дуга l. Тепер необхідно вказати умови, при яких довільна точка буде належати дузі l.

Pt1 лежить в правій півкола, її ордината дорівнює -1/2, тоді t1 = arcsin (-1/2) = - pi / 6. Для опису точки Pt1 можна записати наступну формулу:
t2 = pi - arcsin (-1/2) = 7 * pi / 6. У підсумку отримуємо для t наступне нерівність:

Ми зберігаємо знаки нерівностей. А так як функція синус функція періодична, значить рішення будуть повторюватися через кожні 2 * pi. Ця умова додаємо до отриманого нерівності для t і записуємо відповідь.

Відповідь: -pi / 6 + 2 * pi * n <= t <= 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

Приклад 2. Вирішити нерівність cos (t) <1/2.

Намалюємо одиничне коло. Так як згідно з визначенням cos (t) це координата х, відзначаємо на грфіке на осі Ох точку x = 1/2.
Проводимо через цю точку пряму, паралельну осі Оу. У місцях перетину прямої з графіком одиничному колі відзначаємо точки Pt1 і Pt2. З'єднуємо двом відрізками початок координат з точками Pt1 і Pt2.

Рішеннями будуть всі крапки одиничному колі, які належати дузі l. Знайдемо точки t1 і t2.

t1 = arccos (1/2) = pi / 3.

t2 = 2 * pi - arccos (1/2) = 2 * pi-pi / 3 = 5 * pi / 6.

Отримали нерівність для t: pi / 3

Так як косинус - це функція періодична, то рішення будуть повторюватися через кожні 2 * pi. Ця умова додаємо до отриманого нерівності для t і записуємо відповідь.

Відповідь: pi / 3 + 2 * pi * n

Приклад 3. Розв'язати нерівність tg (t) <= 1.

Період тангенса дорівнює pi. Знайдемо рішення, які належать проміжку (-pi / 2; pi / 2) права півколо. Далі скориставшись періодичністю тангенса, запишемо всі рішення даного нерівності. Намалюємо одиничне коло і відзначимо на ній лінію тангенсів.

Якщо t буде рішення нерівності, то ордината точки Т = tg (t) повинна бути менше або дорівнює 1. Безліч таких точок становитиме промінь АТ. Безліч точок Pt, які будуть відповідати точкам цього променя - дуга l. Причому, точка P (-pi / 2) не належить цій дузі.

Знайдемо умову, за якої певна точка Pt буде належати дузі l.

t1 = arctg (1) = pi / 4.

Отримуємо нерівність -pi / 2

З огляду на період тангенса записуємо відповідь.

Відповідь: -pi / 2 + pi * n

Потрібна допомога в навчанні?