Рішення матричних рівнянь

Попередньо рекомендується вивчити основні дії над матрицями.

Дано матричні рівняння

де A і B - задані матриці, причому A - невироджена. Потрібно знайти матриці X і Y.
Чи не можна визначити розподіл матриць?
Згадаймо, що в числовий області частка від ділення b на a визначається як рішення рівняння a # 8729; x = b (або x # 8729; a = b) і існує не завжди. Можна спробувати визначити «поділ» матриць, розглядаючи рівняння (1) і (2), в яких, згідно з правилом множення, матриці A, B, X, Y не можуть мати довільну структуру. Так, в першому рівнянні матриці A і B повинні мати однакове число рядків, а в другому - однакове число стовпців. Вже звідси ясно, що якщо навіть обидва ці рівняння однозначно розв'язні (а це далеко не завжди так), то їх рішення цілком можуть бути матрицями не тільки різними, але і різної структури. Таким чином, для матриць виявляється неможливим визначити розподіл зі звичними властивостями.
Матричні рівняння виду (1) і (2) вирішуються наступним чином. Так як A невироджена матриця, то існує обернена матриця A -1. Помножимо зліва обидві частини рівняння (1) на A -1. A-1 · A · X = A-1 · B, тоді отримаємо E · X = A-1 · B, або

Аналогічно, множачи справа обидві частини рівності (2) на A -1. матимемо: Y · A · A -1 = B · A -1. звідки знаходимо, що

Приклад 1. Вирішити матричне рівняння.
Рішення. Позначимо,. Тоді матричне рівняння запишеться у вигляді A · X = B. Знайдемо A -1. ; A1 1 = 4; A2 1 = -3; A1 2 = -2; A2 2 = 1,. Скористаємося формулою (3):.

Приклад 2. Вирішити матричне рівняння.
Рішення. (В силу пропорційності рядків), тобто матриця A - вироджена, отже рівняння рішення не має.
Приклад 3. Розв'язати рівняння.
Рішення. Дане рівняння записуємо у вигляді A # 8729; X # 8729; B = C. Множимо обидві частини цієї рівності зліва на A -1 і праворуч на B-1. A -1 # 8729; A # 8729; X # 8729; B # 8729; B-1 = A -1 # 8729; C # 8729; B -1. Так як A # 8729; A -1 = B # 8729; B-1 = E і E # 8729; X = X # 8729; E = X, то X = A -1 # 8729; C # 8729; B -1.
Знаходимо зворотні матриці,, тоді

.
Перевірка.
.