ренти пренумерандо

Рента пренумерандо - це рента, в якій виплати відбуваються на початку періодів. Отже кожен член ренти працює на один період довше, ніж в ренті постнумерандо.

1. Для річний ренти період дорівнює одному року, тобто на кожен платіж відсотки нараховуються на один рік більше. якщо позначити

сучасну і розширену величини ренти пренумерандо, то для річної ренти

2. Для

- термінової ренти пренумерандо з нарахуванням відсотків

раз на рік множник нарощення за один період ренти, який дорівнює

року, дорівнює

. Тоді формули для сучасної вартості і нарощеної суми візьмуть вид

Приклад 30. Для створення фонду в розмірі 100000 рублів на початку кожного року збираються здійснювати внесок у банк, який нараховує на вклади відсотки за складною річною ставкою 20% протягом 5 років. Знайти величину разового платежу.

Рішення. Платежі утворюють річну ренту пренумерандо з параметрами.

змінні ренти

До цього типу належать фінансові ренти, елементи яких змінюються у відповідність з яким-небудь правилом. Розглянемо два типи змінної річної ренти постнумерандо.

1. Ренти з постійним абсолютним приростом

. (При

<0 наблюдается отрицательный прирост, то есть величины платежей убывают).

У даній ренті послідовність платежів утворюють арифметичну прогресію і

-ий платіж дорівнює. Дісконтіруя платежі на початок терміну ренти, знайдемо сучасну вартість

Помножимо обидві частини рівності на

Віднімемо від отриманого рівності попереднє

2. Ренти з постійним відносним приростом

(Наступний платіж зростає на частку

від попереднього).

на початок терміну, знайдемо сучасну вартість

Права частина представляє суму геометричній прогресії з першим членом

і знаменником

. Знайдемо її суму

Приклад 31. Фірма набуває будівлю на наступних умовах: оплата протягом 12 років. сума першого річного платежу (постнумерандо)

руб. Причому кожен наступний рік платіж збільшується на 20 руб. За запропоновану відстрочку продавець стягує 10% річних за складною річною ставкою. Знайти поточну і загальну суму контракту.

Рішення. Це рента з абсолютним приростом

= 20 руб., Руб.,

. Поточна вартість це сучасна вартість всіх платежів

Загальна сума контракту це нарощена сума всіх платежів

Зауваження. при

сучасна вартість знаходиться за формулою

А нарощена сума.

Конверсія фінансових рент

На практиці бувають випадки, коли необхідно змінити умови виплати ренти, причому ці умови не повинні призводити до зміни фінансових наслідків сторін. Розглянемо різні випадки конверсії (тобто зміни) ренти.

1. Викуп ренти. Це заміна ренти разовим платежем. Нехай є рента з заданими параметрами. Потрібно замінити ренту разовим платежем. Визначимо розмір цього платежу. Шуканий розмір викупу має дорівнювати сучасної вартості викуповується ренти. Природно, що застосовується при розрахунку сучасної вартості ставка повинна задовольняти обидві сторони.

Приклад 32. Чи варто купувати за 5500 руб. цінний папір, що генерує щорічний дохід в розмірі 1000 руб. протягом 7 років (постнумерандо), якщо ставка порівняння дорівнює 8%.

Рішення. Дохід є річною рентою з параметрами. Її сучасна вартість

руб. що менше, ніж 5500 руб. Отже, папір купувати не варто.

2. Розстрочка платежу. Це заміна разового платежу рентою. Нехай є зобов'язання сплатити певну суму. Сторони домовилися, що заборгованість буде погашена в вигляді виплати постійної ренти. При цьому сторони обумовлюють або величину разового платежу, або термін виплати (за умови, що всі інші параметри задані). Необхідно визначити, якого бракує параметр. Для цього прирівнюють сучасну вартість ренти до суми боргу і з отриманого рівняння еквівалентності визначають відсутній параметр.

Приклад 33. Борг в розмірі 300 тис. Руб. вирішено замінити рентою на 5 місяців з умовою погашення боргу рівними платежами в кінці кожного місяця. На величину боргу нараховуються відсотки за ставкою 5% за місяць. Знайти суму разового платежу.

Рішення. Період ренти дорівнює 1 місяця. Чи справедливі формули річної ренти, де.

Або використовуючи коефіцієнт приведення річної ренти

3. Консолідація рент. Це об'єднання декількох рент в одну. нехай є

рент з заданими параметрами. Потрібно замінити їх однією, в якій задані всі параметри, крім одного (

або

). Необхідно визначити, якого бракує параметр. З принципу фінансової еквівалентності випливає, що повинні бути рівні сучасні вартості замінює і замінних рент

З цього рівняння знаходять відсутній параметр. Об'єднуються ренти можуть бути будь-якими, тому для обчислення

можуть застосовуватися різні формули.

Приклад 34. Є два боргових зобов'язання перед банком. Перше: піврічні виплати в розмірі 100 руб. протягом 4 років. Друге: щорічні виплати в розмірі 150 руб. протягом 5 років. Було вирішено замінити їх одним зобов'язанням: однаковими щоквартальними виплатами протягом 8 років. Всі платежі здійснюються за схемою постнумерандо. Визначити розмір разових платежів в замінює зобов'язанні, якщо використовується складна річна ставка 10%.

Рішення. Перша рента з параметрами.

Її сучасна вартість

Друга рента річна з параметрами.

Її сучасна вартість

Замінює рента з параметрами.

Її сучасна вартість

З рівності сучасних вартостей отримаємо.

4. Заміна ренти з одними умовами на ренту з іншими умовами. Нехай є рента з заданими параметрами. Потрібно замінити цю ренту інший, всі параметри якої, крім одного, визначені. Треба знайти відсутній параметр. Він знаходиться з умови рівності сучасних вартостей обох рент.

Приклад 35. Сторони погодилися переглянути умови кредиту. Річні платежі в розмірі 1000 руб. виплачуються в кінці року. Замінюються щоквартальними, причому загальний термін кредиту залишається тим самим. Знайти розмір разових щоквартальних платежів, якщо процентна ставка по кредиту 15% річних.

Рішення. Перша рента річна з параметрами.

Її сучасна вартість

Друга рента з параметрами.

Її сучасна вартість

Прирівнюємо сучасні вартості

Зауваження. Все вище викладене можна застосувати для будь-яких потоків платежів. У будь-якому випадку в основу заміни має бути покладено рівність відповідних сучасних вартостей потоків платежів.

Приклад 36. Позичальник повинен виплатити кредитору 100 тис. Руб. через 3 роки і 200 тис. руб. через 4 роки. Він хоче погасити їх однаковими річними платежами постнумерандо протягом 5 років. Знайти величину річного платежу, якщо ставка відсотка по кредиту 20% річних.

Замінює рента є річний з терміном 5 років. Її сучасна вартість

Прирівнюючи сучасні вартості, отримаємо при.