Ранг матриці - це

Рангом системи рядків (стовпців) матриці з рядків і стовпців називається максимальне число лінійно незалежних рядків (стовпців). Кілька рядків (стовпців) називаються лінійно незалежними, якщо жодна з них не виражається лінійно через інші. Ранг системи рядків завжди дорівнює рангу системи стовпців, і це число називається рангом матриці.

Ранг матриці - найвищий з порядків мінорів цієї матриці, відмінних від нуля.

Ранг матриці - Розмірність образу лінійного оператора. якому відповідав би матриця.

Зазвичай ранг матриці позначається () або. Обидва позначення прийшли до нас з іноземних мов, тому і вживатися можуть обидва. Останній варіант властивий для англійської мови, в той час як перший - для німецького. французької та ряду інших мов.

визначення

Нехай - прямокутна матриця.

Тоді за визначенням рангом матриці є:

  • нуль, якщо - нульова матриця;
  • число, де - мінор матриці порядку, а - окаймляющий до нього мінор порядку, якщо вони існують.

Теорема (про коректність визначення рангів). Нехай все мінори матриці порядку дорівнюють нулю (). Тоді, якщо вони існують.

пов'язані визначення

  • Ранг матриці розміру називають повним. якщо.
  • Базисний мінор матриці - будь-який ненульовий мінор матриці порядку, де.
    • Рядки і стовпці, на перетині яких стоїть базисний мінор, називаються базисними рядками і стовпцями. (Вони визначені неоднозначно в силу неоднозначності базисного мінору.)
  • Теорема (про базисному мінорі): Нехай - базисний мінор матриці, тоді:
    1. базисні рядки і базисні стовпці лінійно незалежні;
    2. будь-який рядок (стовпець) матриці є лінійна комбінація базисних рядків (стовпців).
  • наслідки:
    • Якщо ранг матриці дорівнює, то будь-які рядків або стовпців цієї матриці будуть лінійно залежні.
    • Якщо - квадратна матриця, і, то рядки і стовпці цієї матриці лінійно залежні.
    • Нехай, тоді максимальна кількість лінійно незалежних рядків (стовпців) цієї матриці дорівнює.
  • Теорема (про інваріантності рангу при елементарних перетвореннях): Введемо позначення для матриць, отриманих одна з одної елементарними перетвореннями. Тоді справедливе твердження: Якщо, то їх ранги рівні.
  • Теорема Кронекера - Капеллі: Система лінійних алгебраїчних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг її основної матриці дорівнює рангу її розширеної матриці. Зокрема:
    • Кількість головних змінних системи одно рангу системи.
    • Спільна система буде визначена (її рішення єдино), якщо ранг системи дорівнює числу всіх її змінних.

Лінійне перетворення і ранг матриці

Нехай - матриця розміру над полем (або). Нехай - лінійне перетворення, відповідне в стандартному базисі; це означає що . Ранг матриці - це розмірність області значень перетворення.

Існує кілька методів знаходження рангу матриці:

  • Метод елементарних перетворень
Ранг матриці дорівнює числу ненульових рядків в матриці після приведення її до ступеневою формою за допомогою елементарних перетворень над рядками матриці.
  • Метод оздоблюють мінорів
Нехай в матриці знайдений ненульовий мінор -го порядку. Розглянемо всі мінори -го порядку, що включають в себе (оздоблюють) мінор; якщо всі вони рівні нулю, то ранг матриці дорівнює. В іншому випадку серед оздоблюють мінорів знайдеться ненульовий, і вся процедура повторюється.

Для поліпшення цієї статті з математики бажано.

Дивитися що таке "Ранг матриці" в інших словниках:

ранг матриці - найвищий з порядків відмінних від нуля мінорів цієї матриці. * * * РАНГ МАТРИЦІ РАНГ МАТРИЦІ, найвищий з порядків відмінних від нуля мінорів цієї матриці ... Енциклопедичний словник

РАНГ МАТРИЦІ - число r, таке, що визначник принаймні однієї rx r матриці, отриманої з даної матриці видаленням недо яких рядків і (або) стовпців, відмінний від нуля, а визначники всіх матриць розмірності більше r дорівнюють нулю. Р. м. Дорівнює наиб. числу ... ... Фізична енциклопедія

Ранг матриці - [rank of mat-rix] найвищий з порядків мінорів цієї матриці, відмінних від нуля (див. Визначник матриці, детермінант). Р.м. незмінний при її простих перетвореннях ... Економіко-математичний словник

РАНГ МАТРИЦІ - найвищий з порядків відмінних від нуля мінорів цієї матриці ... Великий Енциклопедичний словник

РАНГ МАТРИЦІ - найвищий з порядків відмінних від нуля мінорів цієї матриці ... Природознавство. енциклопедичний словник

ранг матриці - найбільше число лінійно незалежних рядків (або стовпчиків) матриці ... Енциклопедичний словник по психології та педагогіці

Ранг - матриці (математичний), найвищий з порядків відмінних від нуля мінор цієї матриці (Див. Матриця). Р. дорівнює найбільшому числу лінійно незалежних рядків (або стовпчиків) матриці. Р. не змінюється при елементарних перетвореннях матриці ... ... Велика радянська енциклопедія

РАНГ - поняття, тісно пов'язане з поняттям базису. Зазвичай Р. визначається або як мінімальна з потужностей породжує безлічі (так, напр. Вводиться б а з и з н и й р а н г а л г е б р а і ч ес к о ї з собою та т м и) , або як максимальна потужність ... ... Математична енциклопедія

  • Ранг матриці. Джессі Рассел. Ця книга буде виготовлена ​​в відповідності з Вашим замовленням за технологією Print-on-Demand. High Quality Content by WIKIPEDIA articles! Рангом системи рядків (стовпців) матриці з рядків і ... Детальніше Купити за 950 руб
  • Лінійна алгебра 2-е изд. испр. і доп. Підручник і практикум для академічного бакалаврату. Кремер Н.Ш. Фрідман М.Н. В даний підручник включений ряд нових понять і додаткових питань, таких як норма матриці, метод доповнення до базису, ізоморфізм лінійних просторів, лінійні підпростори, лінійна ... Детальніше Купити за 836 руб
  • Лінійна алгебра. Підручник. Н. Ш. Кремер, М. Н. Фрідман. В даний підручник включений ряд нових понять і додаткових питань, таких як норма матриці, метод доповнення до базису, ізоморфізм лінійних просторів, лінійні підпростори, лінійна ... Детальніше Купити за 694 руб