Прості типові завдання з похідною
Ось наше апетитне меню:
Похідна функції в точці
Рівняння дотичної до графіка прямої
Диференціал функції однієї змінної
друга похідна
Кухар на роздачі.
Похідна функції в точці
Як знайти похідну функції в точці? З формулювання слідують два очевидних пункту цього завдання:
1) Необхідно знайти похідну.
2) Необхідно обчислити значення похідної в заданій точці.
Обчислити похідну функції в точці
Довідка: Наступні способи позначення функції еквівалентні:
У деяких завданнях буває зручно позначити функцію «ігрек», а в деяких через «еф від ікс».
Спочатку знаходимо похідну:
Сподіваюся, багато хто вже пристосувалися знаходити такі похідні усно.
На другому кроці обчислимо значення похідної в точці:
Невеликий розминку приклад для самостійного рішення:
Обчислити похідну функції в точці
Повне рішення і відповідь в кінці уроку.
Необхідність знаходити похідну в точці виникає в таких завданнях: побудова дотичної до графіка функції (наступний параграф), дослідження функції на екстремум. дослідження функції на перегин графіка. повне дослідження функції та ін.
Але що розглядається завдання зустрічається в контрольних роботах і саме по собі. І, як правило, в таких випадках функцію дають досить складну. У зв'язку з цим розглянемо ще два приклади.
Обчислити похідну функції в точці.
Спочатку знайдемо похідну:
Похідна, в принципі, знайдена, і можна підставляти потрібну установку. Але щось робити це не сильно хочеться. Вираз дуже довге, та й значення «ікс» у нас дробове. Тому намагаємося максимально спростити нашу похідну. В даному випадку спробуємо привести до спільного знаменника три останніх доданків:
Ну ось, зовсім інша справа. Обчислимо значення похідної в точці:
У тому випадку, якщо Ви не зрозуміло, як знайдена похідна, поверніться до перших двох уроків теми. Якщо виникли труднощі (нерозуміння) з арктангенсом і його значеннями, обов'язково вивчіть методичний матеріал Графіки і властивості елементарних функцій - найостанніший параграф. Тому що арктангенса на студентський вік ще вистачить.
Обчислити похідну функції в точці.
Це приклад для самостійного рішення.
Рівняння дотичної до графіка функції
Щоб закріпити попередній параграф, розглянемо задачу знаходження дотичної до графіка функції в даній точці. Це завдання зустрічалося нам в школі, і воно ж зустрічається в курсі вищої математики.
Розглянемо «демонстраційний» найпростіший приклад.
Скласти рівняння дотичної до графіка функції в точці з абсцисою. Я відразу наведу готове графічне рішення задачі (на практиці цього робити в більшості випадків не треба):
Суворе визначення дотичній дається за допомогою визначення похідної функції. але поки ми освоїмо технічну частину питання. Напевно практично всім інтуїтивно зрозуміло, що таке дотична. Якщо пояснювати «на пальцях», то дотична до графіка функції - це пряма. яка стосується графіка функції в єдиній точці. При цьому всі прилеглі точки прямої розташовані максимально близько до графіка функції.
Стосовно до нашого випадку: при дотична (стандартне позначення) стосується графіка функції в єдиній точці.
І наше завдання полягає в тому, щоб знайти рівняння прямої.
Як скласти рівняння дотичної в точці з абсцисою?
Загальна формула знайома нам ще зі школи:
Значення нам вже дано в умові.
Тепер потрібно обчислити, чому дорівнює сама функція в точці:
На наступному етапі знаходимо похідну:
Знаходимо похідну в точці (завдання, яке ми недавно розглянули):
Підставляємо значення, і в формулу:
Таким чином, рівняння дотичної:
Це «шкільний» вид рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. У вищій математиці рівняння прямої на площині прийнято записувати в так званій загальній формі, тому перепишемо знайдене рівняння дотичної відповідно до традиції:
Очевидно, що точка повинна задовольняти даним рівнянням:
- вірне рівність.
Слід зазначити, що така перевірка є лише частковою. Якщо ми неправильно вирахували похідну в точці, то виконана підстановка нам нічим не допоможе.
Розглянемо ще два приклади.
Скласти рівняння дотичної до графіка функції в точці з абсцисою
Рівняння дотичної складемо по формулі
1) Обчислимо значення функції в точці:
2) Знайдемо похідну. Двічі використовуємо правило диференціювання складної функції:
3) Обчислимо значення похідної в точці:
4) Підставимо значення, і в формулу:
Виконаємо часткову перевірку:
Підставами точку в знайдене рівняння:
- вірне рівність.
Скласти рівняння дотичної до графіка функції в точці з абсцисою
Повне рішення та зразок оформлення в кінці уроку.
У задачі на знаходження рівняння дотичної дуже важливо УВАЖНО і акуратно виконати обчислення, привести рівняння прямої до загального вигляду. І, звичайно ж, ознайомтеся із суворим визначенням дотичній. після чого закріпіть матеріал на уроці Рівняння нормалі. де є додаткові приклади з дотичній.
Диференціал функції однієї змінної
З формально-технічної точки зору знайти диференціал функції - це «майже те ж саме, що знайти похідну».
Похідна функції найчастіше позначається через.
Диференціал функції стандартно позначається через (так і Новомосковскется - «де ігрек»)
Диференціал функції однієї змінної записується в наступному вигляді:
Інший варіант запису:
Найпростіша задача: Знайти диференціал функції
1) Перший етап. Знайдемо похідну:
2) Другий етап. Запишемо диференціал:
Диференціал функції однієї або кількох змінних найчастіше використовують для наближених обчислень.
Крім «комбінованих» завдань з диференціалом час від часу зустрічається і «чисте» завдання на знаходження диференціала функції.
Знайти диференціал функції
Перед тим, як знаходити похідну або диференціал, завжди доцільно подивитися, а чи не можна як-небудь спростити процедуру (або запис функції) ще до диференціювання? Дивимося на наш приклад. По-перше, можна перетворити корінь:
(Корінь п'ятого ступеня відноситься саме до синусу).
По-друге, помічаємо, що під синусом у нас дріб, яку, очевидно, належить диференціювати. Формула диференціювання дроби дуже громіздка. Чи не можна позбутися від дробу? В даному випадку - можна, почленно розділимо чисельник на знаменник:
Функція складна. У ній два вкладення: під ступінь вкладений синус, а під синус вкладено вираз. Знайдемо похідну, використовуючи правило диференціювання складної функції два рази:
Запишемо диференціал, при цьому знову уявімо в первісному «красивому» вигляді:
Коли похідна являє собою дріб, значок зазвичай «приліплюють» в самому кінці чисельника (можна і справа на рівні дробової риси).
Знайти диференціал функції
Це приклад для самостійного рішення.
Наступні два приклади на знаходження диференціала в точці:
Обчислити диференціал функції в точці
Знову, похідна начебто знайдено. Але в цю бодягу ще належить підставляти число, тому результат максимально спрощуємо:
Праці були не марні, записуємо диференціал:
Тепер обчислимо диференціал в точці:
У значок диференціала одиницю підставляти не потрібно, він трохи з іншої опери.
Ну і хорошим тоном в математиці вважається усунення ірраціональності в знаменнику. Для цього домножимо чисельник і знаменник на. остаточно:
Обчислити диференціал функції в точці. В ході вирішення похідну максимально спростити.
Це приклад для самостійного рішення. Зразок оформлення і відповідь в кінці уроку.
друга похідна
Все дуже просто. Друга похідна - це похідна від першої похідної.
Стандартні позначення другої похідної:, або (дріб Новомосковскется так: «де два ігрек по де ікс квадрат»). Найчастіше другу похідну позначають першими двома варіантами. Але третій варіант теж зустрічається, причому, його дуже люблять включати в умови контрольних завдань, наприклад: «Знайдіть функції ...». А студент сидить і дуже довго чухає ріпу, що це взагалі таке.
Розглянемо найпростіший приклад. Знайдемо другу похідну від функції.
Для того щоб знайти другу похідну, як багато хто здогадався, потрібно спочатку знайти першу похідну:
Тепер знаходимо другу похідну:
Розглянемо більш змістовні приклади.
Знайти другу похідну функції
Знайдемо першу похідну:
На кожному кроці завжди дивимося, чи не можна що-небудь спростити? Зараз нам належить диференціювати твір двох функцій, і ми позбудемося цієї неприємності, застосувавши відому тригонометричну формулу. Точніше кажучи, використовувати формулу будемо в зворотному напрямку::
Знаходимо другу похідну:
Можна було піти іншим шляхом - знизити ступінь функції ще перед дифференцированием, використовуючи формулу:
Якщо цікаво, візьміть першу і другу похідні знову. Результати, природно, співпадуть.
Зазначу, що зниження ступеня буває дуже вигідно при знаходженні приватних похідних функції. Тут же обидва способи вирішення будуть приблизно однакової довжини і складності.
Як і для першої похідної, можна розглянути задачу знаходження другої похідної в точці.
Наприклад: Обчислимо значення знайденої другої похідної в точці:
Необхідність знаходити другу похідну і другу похідну в точці виникає при дослідженні графіка функції на опуклість / увігнутість і перегини.
Знайти другу похідну функції. знайти
Це приклад для самостійного рішення.
Аналогічно можна знайти третю похідну. а також похідні вищих порядків. Такі завдання зустрічаються, але зустрічаються трохи рідше.
Рішення і відповіді:
Приклад 2: Знайдемо похідну:
Обчислимо значення функції в точці:
Приклад 4: Знайдемо похідну:
Обчислимо похідну в заданій точці:
Приклад 6: Рівняння дотичної складемо по формулі
1) Обчислимо значення функції в точці:
2) Знайдемо похідну. Перед дифференцированием функцію вигідно спростити:
3) Обчислимо значення похідної в точці:
4) Підставимо значення, і в формулу:
Приклад 12: Знайдемо першу похідну:
Знайдемо другу похідну:
обчислимо:
(Перехід на головну сторінку)
Якісні роботи без плагіату - Zaochnik.com