Прості і складні відсотки, прості відсотки, складні відсотки - фінанси - навчальні матеріали для

Розглянемо приклад розміщення 100 руб. на банківському депозиті під 10% терміном на один рік. Поточна вартість PV становить 100 руб.

Через рік інвестор на вкладений вклад отримає 10%, або 10 руб. Сума грошових коштів через рік дорівнює сумі вкладу плюс накопичені відсотки (100 + 10 = 110 руб.). Отже, майбутня вартість сьогоднішніх 100 руб. дорівнює 110 руб.

Майбутню вартість (future value, FV) можна визначити але формулою

де PV - поточна вартість; г - ринкова процентна ставка. У нашому прикладі майбутня вартість

Якщо через рік інвестор з банку не забирає ні відсотки, пі суму початкового внеску, а розміщує ці кошти на депозиті строком ще на один рік, то майбутня вартість розміщених коштів складе

РУ = 110 (1 + 0,1) = 100 (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 100 (1 + 0,1) 2 = 121 руб.

У загальному вигляді майбутню вартість поточних грошових коштів можна уявити як

де г - річна процентна ставка; (1 + г) - коефіцієнт нарощення; п - число років нарощення.

У розглянутому прикладі умовами розміщення коштів передбачено, що інвестор вкладає кошти на кілька років під певний відсоток. При цьому сума накопичених відсотків не вилучається, а залишається па рахунку інвестора, і на ніс нараховуються відсотки.

Однак умови вкладу можуть бути і інші. Інвестор щороку забирає накопичені відсотки, а відсотки за наступний рік нараховуються тільки на початкову суму. Залежно від способу нарахування відсотків на вкладений капітал розрізняють прості і складні відсотки.

прості відсотки

За окремими видами фінансових вкладень дохід нараховується за методом простих відсотків. До таких форм інвестицій відносяться депозитні сертифікати і облігації, за якими відсотки нараховуються на номінальну вартість даних фінансових інструментів. Наприклад, якщо інвестор придбав облігацію номінальною вартістю 1000 руб. з терміном погашення через 1,5 року під 10% річних, то після закінчення терміну його дохід складе 1000-0,1 х 1,5 = 150 руб.

Таким чином, якщо річна ставка становить 10%, то при методі простих відсотків дохід інвестора через рік складе 10%: через 1,5 року - 15; через 2 роки - 20; через 3 роки - 30% і т.д.

При нарахуванні простих відсотків майбутня вартість визначається за формулою

Розглянемо приклад, коли на вкладені інвестиції дохід нараховується за методом простих відсотків. Вкладник розміщує 1 млн руб. на депозиті строком на п'ять років під 10% річних. Після завершення терміну сума коштів, якими буде мати у своєму розпорядженні інвестор, складе 1 (1+ 0,1-5) = 1,5 млн руб. з яких

1 млн крб.- це сума початкового внеску і 500 000 руб. представляють накопичені відсотки.

складні відсотки

При проведенні фінансових обчислень в більшості випадків користуються не простими, а складними відсотками, що нараховуються не тільки на початкову суму, а й на суму відсотків, що накопичилися за минулий період. В цьому випадку процентний дохід не вилучається, а залишається на рахунку і додається до величини початкового внеску.

В основі методу складних відсотків лежить та ж методика нарахування щорічних простих відсотків, які нараховуються на початковий внесок і накопичену суму. Майбутню вартість за методом складних відсотків розраховують за формулою

Розглянемо, як зміниться сума вкладу в розглянутому вище прикладі, якщо при нарахуванні використовувати метод складних відсотків. При розміщенні на банківському депозиті суми в розмірі 1 млн руб. терміном на п'ять років під 10% річних кінцева сума при обчисленні методом складних відсотків складе

FV = 1 000 000 (1 + 0,1) 5 = 1 610 510 руб.

Отримана сума на 110 510 руб. більше, ніж сума, отримана при нарахуванні простих відсотків.

Метод складних відсотків завжди інтригував людей. Джон Кейнс назвав цей процес магією складних відсотків. Дійсно, на тривалих відрізках часу початкові суми, вкладені під складний відсоток, збільшуються дуже істотно. Це добре очевидно з табл. 4.1, в якій наведено дані по приросту інвестицій в розмірі 100 дол. При простому і складному відсотку на 200-літньому відрізку часу.

1. Англійський астроном Френсіс Бейлі в 1810 р підрахував, що якщо в рік народження Христа покласти 1 пенс під 5% річних, то за ці роки він перетворився б на таку кількість золота, якого вистачило б для заповнення 357 млн ​​земних куль.

2. Острів Манхеттен (США) був придбаний в 1626 р Пітером Мінуітом у місцевих індіанців за суму, рівну приблизно 25 дол. США. В даний час сукупна вартість острова обчислюється мільярдами доларів. Однак якби Пітер вклав свої 25 дол. В банк під 7% річних, то в даний час він би отримав 3,6 трлн дол. США, що істотно більше нинішньої вартості острова з усіма спорудами на ньому. Ось до чого призводить прийняття одного разу неправильного рішення.

Таблиця 4.1.Стоімость інвестицій в розмірі 100 дол. На кінець року при 10% ставці

Таблиця показує, що в перший рік різниця в доході між простим і складним відсотком дорівнює нулю. Потім ця різниця починає незначно зростати. Вона досить велика для 50-річного і величезна для 200-річного періоду.

Для зручності розрахунку майбутньої вартості застосовують спеціальні таблиці, що показують майбутню вартість грошової одиниці через п років при відповідній річній процентній ставці (додаток 1). Фрагмент цієї таблиці наведено нижче (табл. 4.2)

Таблиця 4.2.Будущая вартість грошової одиниці

Річна процентна ставка

Користуючись табл. 4.2, визначимо, скільки грошових коштів буде на рахунку інвестора, який поклав 1000 руб. на банківський депозит під 10% терміном на 15 років. Ми рухаємося по стовпчику "роки" до рядка 15 років, а потім переміщаємося по цьому рядку вправо до стовпчика 10%. На перетині рядка і стовпця показано, на що перетвориться 1 руб. через 15 років, покладений на депозит під 10% річних. Ця цифра дорівнює 4,177. Отже, для нашого прикладу майбутня вартість вкладу

РУ = 1000-4,177 = 4177 руб.

Динаміка зміни початкового внеску при простому і складному нарахуванні відсотків представлена ​​на рис. 4.3.

Мал. 4.3.Рост вартості при простому і складному відсотку

При простому відсотку збільшення вартості йде рівномірно. Початкова сума інвестицій щороку збільшується на однакову величину, що ілюструє пряма лінія. При складному відсотку спостерігається прискорене зростання накопичень. Крива зростання тим крутіше, чим вище ставка відсотка і довше термін інвестування.

Правило 72 (подвоєння заощаджень)

Інвестор придбав пакет акцій компанії "Уралкалий" за 10 млн руб. а через чотири роки продав його за 20 млн руб. збільшивши свій капітал в два рази. Цікаво дізнатися, яку середньорічну прибутковість він отримав від своїх інвестицій, розраховану за методом складних відсотків?

"Правило 72" дозволяє нам швидко без допомоги калькулятора визначити прибутковість цих інвестицій. "Правило 72" говорить: якщо число 72 розділити на число років, за яке було досягнуто подвоєння інвестицій, то отримаємо процентну ставку, яка ніколи середньорічну прибутковість наших інвестицій. У розглянутому прикладі

Прибутковість = 72 / Число років = 72/4 = 18%.

Якщо відома процентна ставка, під яку можна розмістити грошові кошти на фінансовому ринку, то, користуючись "правилом 72", легко визначити, скільки років має пройти, щоб інвестиції подвоїлися. Наприклад, банк пропонує депозит під 7% річних. Щоб розрахувати період подвоєння, необхідно 72 поділити на процентну ставку, що в нашому прикладі складе

Число років = 72/7 = 10,3 року.

Слід зазначити, що "правило 72" дає наближене значення числа років і відсотків, необхідних для подвоєння інвестицій. Наприклад, для подвоєння вкладень за чотири роки необхідна річна прибутковість в розмірі 19%, а не 18%, як вийшло при використанні "правила 72". Для того щоб вкладення, розміщені під 7% річних, подвоїлися, необхідно 10,2 року, а по "правилу 72" вийшло 10,3 року. Як бачите, різниця несуттєва, і цей підхід цілком може застосовуватися для приблизної оцінки інвестиційних рішень.

Якщо Ви помітили помилку в тексті виділіть слово і натисніть Shift + Enter