Прямокутник, ромб, квадрат 1

Чотирикутником називається багатокутник, у якого $ 4 $ вершини.

Чотирикутник має $ 4 $ боку, $ 4 $ вершини і $ 4 $ кута. Сторони, які мають загальних вершин, називають протилежними сторона чотирикутника, в іншому випадку вони називаються суміжними. Кути, що не мають спільних сторін, також називають суміжними.

Введемо тепер, безпосередньо, визначення паралелограма.

Паралелограм - це чотирикутник, у якому протилежні сторони паралельні між собою.

Нагадаємо основні властивості паралелограма.

Властивість 1: Протилежні сторони і кути паралелограма рівні, відповідно, між собою.

Властивість 2: Діагоналі, проведені в параллелограмме, діляться навпіл їх точкою перетину.

Розглянемо далі докладно поняття прямокутника, ромба і квадрата.

прямокутник

Паралелограм, у якого є прямий кут, називається прямокутником (рис. 1).

Малюнок 1. Прямокутник

Очевидно, що в прямокутнику всі чотири кути дорівнюють $ ^ 0 $

Розглянемо два властивості прямокутника.

Властивість 3: Обидві діагоналі прямокутника рівні між собою.

Нехай нам дано прямокутник $ ABCD $. Проведемо в ньому діагоналі $ AC $ і $ BD $ (рис. 2). Доведемо, що $ AC = BD $.

Так як прямокутник за визначенням $ 1 $ є паралелограма, то за властивістю $ 1 $ паралелограма, маємо

Так як $ \ angle B = \ angle A = ^ 0 $, а $ AB $ - загальна сторона, то по I ознакою рівності трикутників, $ \ triangle ABD = \ triangle ABC $. отже

Властивість 4 (ознака прямокутника): Якщо обидві діагоналі паралелограма рівні між собою, то він є прямокутником.

Нехай нам дано прямокутник $ ABCD $. Проведемо в ньому діагоналі $ AC $ і $ BD $. Нехай вони перетинаються в точці $ R $ (рис. 2).

З властивості $ 2 $ паралелограма і рівності його діагоналей, отримаємо

Так як $ \ angle DRC = \ angle ARB $, як вертикальні, то по $ I $ ознакою рівності трикутників $ \ triangle DRC = \ triangle ARB $. Значить, $ \ angle RDC = \ angle RCD = \ angle RAB = \ angle RBA $.

Так як $ AB = AD $, то трикутник $ ABD $ рівнобедрений, а так як $ AE $ - медіана трикутника $ ABD $, то $ AC $ перпендикулярно $ BD $.

Прямокутник, у якого всі його чотири сторони рівні між собою, називається квадратом (рис. 5).

Малюнок 5. Квадрат

Очевидно, що квадрат - окремий випадок ромба. Отже, квадрат має всі властивості прямокутника і ромба.

приклад завдання

Знайти периметр квадрата, діагональ якого дорівнює $ 10 $.

Позначимо сторону квадрата через $ a $. Тоді, по теоремі Піфагора