Прямокутний трикутник, Кучмастар вики, fandom powered by wikia

Пов'язані визначення Правити

Сторона, протилежна прямого кута, називається гіпотенузою (сторона c на малюнку вище).
Сторони, що прилягають до прямого кута, називаються катетами. Сторона a може бути ідентифікована як прилегла до кута В і протилежна куту A. а сторона b - як прилегла до кута A і протилежна куту В.

Типи прямокутних трикутників Правити

Якщо довжини всіх трьох сторін прямокутного трикутника є натуральними числами, то трикутник називається піфагорових трикутником. а довжини його сторін утворюють так звану пифагорову трійку.

Ознаки рівності прямокутних трикутників Правити

По двох катетам: якщо катети одного прямокутного трикутника відповідно рівні катетам іншого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні.

Ця ознака негайно випливає з першої ознаки рівності трикутників. так як у двох трикутників будуть рівні за два катета і прямий кут.

За катету і гострому куту: якщо катет і прилеглий до нього гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно рівні катета і прилеглому до нього гострого кута іншого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні

Ця ознака негайно випливає з другої ознаки рівності трикутників, так як у двох трикутників будуть дорівнює один катет, прилеглий до нього кут і прямий кут.

За гіпотенузі і гострому куту: якщо гіпотенуза і гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно рівні гіпотенузі і гострому куту іншого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні.

Ця ознака випливає з другого ознака рівності трикутників, так як другі гострі кути будуть рівні за теоремою про суму кутів трикутника і у трикутників будуть рівні гіпотенузи і два прилеглих до неї кута.

За гіпотенузи і катетом: якщо гіпотенуза і катет одного прямокутного трикутника відповідно рівні гіпотенузі і катету іншого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні.

Ця ознака доведемо так. Накладемо два трикутника один на одного так, щоб отримати трикутник, тобто сумісний їх рівними катетами так, щоб кути, що лежать при цих катетах, лежали в різних площинах. Так як гіпотенузи рівні, вийшов трикутник - рівнобедрений, тоді кути при основі рівні. Тоді два прямокутних трикутника дорівнюватимуть по гіпотенузі і гострому куту.

властивості Правити

Далі припускаємо, що і довжини катетів, а довжина гіпотенузи

(Теорема Піфагора )

Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку двох його катетів. Тобто,

Для медіан, і виконується наступне співвідношення:
- Зокрема, медіана, падаюча на гіпотенузу, дорівнює половині гіпотенузи.

Висота Правити

Якщо висота проведена з вершини з прямим кутом до гіпотенузи, то трикутник ділиться на два менших трикутника, подібних вихідного і подібних один одному. З цього випливає, що в позначеннях, показаних на діаграмі: [1]

Висота є середнє геометричне (середнім пропорційним) двох утворених нею сегментів гіпотенузи, тобто

(Іноді це називають теоремою висоти прямокутного трикутника)

Кожен катет трикутника є середнім геометричне гіпотенузи і проекції катета на гіпотенузу, тобто

У прямокутному трикутнику висота, опущена з вершини прямого кута на гіпотенузу, ділить гіпотенузу в такому відношенні, в якому знаходяться квадрати прилеглих катетів, тобто

Крім того висота, опущена на гіпотенузу, пов'язана з катетами прямокутного трикутника співвідношенням: [2] [3]

Також якщо прямокутний трикутник є рівнобедреним, то висота, опущена на гіпотенузу буде дорівнює:

, де - це радіус вписаного кола, а - срібне розтин.

характеристики Правити

Трикутник ABC зі сторонами a, b, c (де c - найдовша сторона), з описаної окружністю радіуса R є прямокутним трикутником тоді і тільки тоді. коли вірно одну з таких співвідношень: [4]

, тобто одна зі сторін є діаметром описаної окружності.
,
,
,
(Зворотна теорема Піфагора),
, т. е. сума двох сторін дорівнює подвоєною сумі радіусів описаної і вписаною кіл,
описана окружність є дотичною до кола дев'яти точок.

Тригонометричні співвідношення Правити

Тригонометричні функції для гострих кутів можна визначити як відносини сторін прямокутного трикутника. Для будь-якого даного кута можна побудувати прямокутний трикутник, у якому такий кут, і зі сторонами: протилежними катетом, прилеглим катетом і гіпотенузою, пов'язаними з цим кутом певними вище співвідношеннями. Ці відносини сторін не залежать від конкретного обраного прямокутного трикутника, а залежать тільки від заданого кута, так як всі трикутники, побудовані таким чином, є подібними. Якщо для заданого кута α, протилежний катет, прилеглий катет і гіпотенузу позначити a. b і c відповідно, то тригонометричні функції мають вигляд:

І таким чином:

Катет, протилежні кутку, дорівнює добутку гіпотенузи на синус цього кута

Катет, прилеглий кутку, дорівнює добутку гіпотенузи на косинус цього кута

Катет, протилежні кутку, дорівнює добутку другого катета на тангенс кута

Катет, прилеглий кутку, дорівнює добутку другого катета на котангенс кута

Гіпотенуза дорівнює відношенню катета до синусу протилежного кута, і / або приватному відношенню катета і косинуса прилеглого кута (кута між ними)

Спеціальні прямокутні трикутники Правити

Значення тригонометричних функцій можна точно оцінити для певних кутів, використовуючи прямокутні трикутники з особливими значеннями кутів. До таких трикутниках відносяться трикутник 30-60-90. який можна використовувати для оцінки тригонометричних функцій для будь-яких значень, кратних π / 6, і трикутник 45-45-90 (рівнобедрений прямокутний), який можна використовувати для оцінки тригонометричних функцій для значень, кратних π / 4. Зокрема,

Катет, що лежить проти гострого кута в 30 °, в точності дорівнює половині гіпотенузи.
Катет, що лежить проти гострого кута в 19.5 °, приблизно дорівнює третій частині гіпотенузи (з точністю до 0.15%).

Теорема Фалеса Правити

Теорема Фалеса стверджує, що якщо яка-небудь точка A лежить на окружності діаметра BC (за винятком самих точок B і C), то △ ABC є прямокутний трикутник з прямим кутом A. Протилежне твердження таке: якщо прямокутний трикутник вписаний в коло, то гіпотенуза буде її діаметром. Наслідком є те, що довжина гіпотенузи дорівнює подвоєному відстані від вершини прямого кута до середини гіпотенузи. Вірно також, що центр кола, що описує прямокутний трикутник, є серединою гіпотенузи, а її радіус дорівнює половині довжини гіпотенузи.

Інші властивості Правити

Радіус вписаного кола в прямокутний трикутник з катетами a і b і гіпотенузою c дорівнює:

Якщо відрізки довжиною p і q. які виходять із вершини C. ділять гіпотенузу на три рівних відрізка довжини c / 3, то: [5] Шаблон: Rp

Прямокутний трикутник є єдиним трикутником з двома, а не трьома, відмінними один від одного вписаними квадратами. [6]

Нехай h і s (h> s) сторонами двох квадратів, вписаних в прямокутний трикутник з гіпотенузою c. тоді:

Периметр прямокутного трикутника дорівнює сумі двох радіусів вписаного і чотирьох описаних кіл:

У всіх прямокутних трикутниках медіана, опущена на гіпотенузу, дорівнює половині гіпотенузи.