Приватні похідні, повні диференціали та їх застосування

7. Інтегрування повних диференціалів

щоб вираз

Приватні похідні, повні диференціали та їх застосування
де
Приватні похідні, повні диференціали та їх застосування
і
Приватні похідні, повні диференціали та їх застосування
- диференціюються
Приватні похідні, повні диференціали та їх застосування
і
Приватні похідні, повні диференціали та їх застосування
, було повним диференціалом
Приватні похідні, повні диференціали та їх застосування
, необхідно і достатньо виконання умови
Приватні похідні, повні диференціали та їх застосування

для знаходження

Приватні похідні, повні диференціали та їх застосування
з умов
Приватні похідні, повні диференціали та їх застосування
і
Приватні похідні, повні диференціали та їх застосування
отримаємо

Виписавши з першого речення всі відомі члени, а з другого - члени з

Приватні похідні, повні диференціали та їх застосування
, відсутні в першому, отримаємо функцію
Приватні похідні, повні диференціали та їх застосування
.

Щоб вираз де

Приватні похідні, повні диференціали та їх застосування
- диференціюються від
Приватні похідні, повні диференціали та їх застосування
і
Приватні похідні, повні диференціали та їх застосування
, було повним диференціалом
Приватні похідні, повні диференціали та їх застосування
, необхідно і достатньо виконання умов:

Приватні похідні, повні диференціали та їх застосування
Приватні похідні, повні диференціали та їх застосування
Приватні похідні, повні диференціали та їх застосування

Для знаходження маємо:

Виписавши з першого виразу всі відомі члени, а з другого і третього - відсутні члени з

Приватні похідні, повні диференціали та їх застосування
і
Приватні похідні, повні диференціали та їх застосування
, отримаємо функцію
Приватні похідні, повні диференціали та їх застосування
.

Знаходження функції по її повного диференціалу називається інтегруванням повного диференціала.

Особливі точки плоскої кривої

точка кривої

Приватні похідні, повні диференціали та їх застосування
називаетсяособой. якщо в цій точці
Приватні похідні, повні диференціали та їх застосування
і
Приватні похідні, повні диференціали та їх застосування
.

кутовий коефіцієнт

Приватні похідні, повні диференціали та їх застосування
дотичної в точці знаходиться з уравненіягде
Приватні похідні, повні диференціали та їх застосування
- значення похідних
Приватні похідні, повні диференціали та їх застосування
і
Приватні похідні, повні диференціали та їх застосування
в цій особливій точці.

При цьому можливо три випадки:

1. - дві дотичних; точка називаетсяузлом.

2. - немає дотичній; точкаізолірована.

3. - або ізольована точка, або точка повернення, самосопрікосновенія існує одна загальна дотична до двох гілках прямий.

Щоб в третьому, сумнівному, випадку вирішити питання остаточно, потрібно дізнатися, чи є точки кривої в як завгодно малій околиці досліджуваної точки.