Принцип найменшої дії

Глосарій з фізики

Принцип найменшої дії - один з варіаційних принципів механіки. згідно к-рому для даного класу порівнюваних між собою рухів механічні. системи дійсним є те, для к-якого фіз. величина, наз. дією, має мінімум (точніше, екстремум). Зазвичай принцип найменшої дії застосовується в одній з двох форм.

а) Принцип найменшої дії в формі Гамільтона - Остроградського. В цьому випадку під дією за проміжок часу t1 - t0 розуміють величину


де L - функція Лагранжа, що залежить від узагальнених координат системи qi. узагальнених швидкостей. qi і часу t (див. Лагранжа функція) .H. д. п. в цій формі встановлює, що серед всіх кінематично можливих переміщень системи з однієї конфігурації в іншу (близьку до першої), що здійснюються за один і той же проміжок часу t1 - t0. дійсним є те, для к-якого дія S буде найменшим. Матем. вираз принципу найменшої дії має в цьому випадку вид


де d - символ неповної (ізохронної) варіації.

б) H. д. п. у формі Мопертюї - Лагранжа. В цьому випадку під дією за проміжок часу t1 - t0. протягом догрого система переміщається з конфігурації А в конфігурацію В. розуміють величину


де T - кинетич. енергія системи, pi - узагальнені імпульси. H. д. П. В цій формі встановлює, що серед всіх кінематично можливих переміщень системи з конфігурації А в близьку до неї конфігурацію В. здійснюються при збереженні однієї і тієї ж величини повної енергії системи, дійсним є те, для к-якого дія S0 буде найменшим.

Матем. вираз H. д. п. в цьому випадку має вигляд


де D - символ повної варіації (на відміну від принципу Гамільтона - Остроградського, тут варіюються не тільки координати і швидкості, а й час переміщення системи з однієї конфігурації в іншу). Принцип найменшої дії в формі (2) справедливий тільки для консервативних і притому голономних систем. Принцип найменшої дії в формі (1) є більш загальним і, зокрема, може бути поширений на неконсерватівние системи. H. д. П. Користуються для складання ур-ний руху механічні. систем і для дослідження загальних властивостей цих рухів. При відповідному узагальненні понять принципу найменшої дії знаходить застосування в механіці безперервного середовища, в електродинаміки. квантовій механіці і ін.

Література за принципом найменшої дії

  1. Варіаційні принципи механіки. Зб. ст. під ред. Л. С. Полана, M. 1959 [переклади оригінальних робіт І. Бернуллі, Гамільтона, Гаусса, Герца, Д-Аламбера, Лагранжа, Mопертюі, Остроградського, Ейлера, Якобі і MH. ін.].

НОВИНИ ФОРУМУ
Лицарі теорії ефіру