Приклади розв’язання задач на тему «елементи математичної статистики»

1.Найти точкові оцінки невідомих параметром передбачуваного закону розподілу, тобто знайти вибіркову середню і вибіркову дисперсію.

2. Побудувати гістограму. Висунути гіпотезу Н0 про теоретичному законі розподілу.

3. Обчислити теоретичні ймовірності р i й на заданому рівні значимості # 945; = 0,05 порівняти їх з відносними частотами. використовуючи критерій згоди Пірсона # 967; 2.

Прийняти статистичне рішення: підтвердити або спростувати гіпотезу Н0 про теоретичному законі розподілу.

1.Определите обсяг вибірки:

Тепер складемо таблицю.

Знайдемо вибіркову середню і вибіркову дисперсію:

(2330 - це сума чисел у 7-му стовпці),

(4336 - це сума чисел у останньому стовпці),

2. Побудуємо гістограму:

З вигляду гістограми можна висунути гіпотезу, що дане розподіл - нормальне.

3. Щоб підтвердити (або спростувати) гіпотезу, скористаємося критерієм згоди Пірсона: # 967; 2 =.

Обчислимо теоретичні ймовірності:

Заповнимо допоміжну таблицю:

По таблиці критичних точок розподілу # 967; 2 знайдемо найбільше допустиме значення # 967; 2 кр (# 945 ;; s), де # 945; = 0,05 - заданий рівень значимості, s - число ступенів свободи, s = k - 1 - r = 7 - 3 = 4 (k = 7 - кількість інтервалів,

r = 2 - число параметрів передбачуваного розподілу): # 967; 2 кр (# 945 ;; s) = # 967; 2 кр (0,05; 4) = 9,5.

# 967; 2 набл = 5,6 <χ 2 кр = 9,5 эмпирические (относительные) частоты и теоретические вероятности различаются незначимо и нет оснований отвергать гипотезу Н0 о нормальном законе распределения генеральной совокупности.

Завдання 3. Випадкова величина X розподілена нормально. За вибіркою обсягу n = 16 знайдено і. Оцінити невідоме математичне сподівання (при невідомій дисперсії) з надійністю.

Рішення. Знайдемо за допомогою таблиці розподілу Ст'юдента:. Тоді довірчі кордону:;

Отже, невідомий параметр a з надійністю 0,975 укладений в довірчому інтервалі:.

Завдання 4. Відомо розподіл банків деякого держави за вартістю активів:

Вартість активів (млн.дол.)

При рівні значущості a = 0,05, використовуючи критерій Пірсона, перевірити гіпотезу про нормальність цього розподілу.

Нульова гіпотеза - Н0. F (x) = F теор (x), де F теор (x) - нормальний закон розподілу;

Альтернативна гіпотеза - Н1. F (x) ≠ F теор (x).

Критерієм перевірки є випадкова величина. має розподіл Пірсона з q = k - l - 1 ступенями свободи, де

mi - кількість банків (частота), що потрапляють в інтервал вартості активів від xi-1 до xi; k - число точок (інтервалів) за якими проводиться перевірка Н0; l - число параметрів теоретичного розподілу, для нормального закону l = 2; pi - ймовірність попадання випадкової величини в проміжок [xi-1, xi), обчислена на підставі передбачуваної

У нашому випадку: pi = Ф - Ф. де Ф (z) - значення функції Лапласа, яке визначається за таблицями; a. - значення параметрів F теор (x), відповідно: математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення, які оцінюються за дослідними даними.

Умова перевірки:; де критична точка, яка визначається за таблицею розподілу Пірсона.

Для q = k - l - 1 = 7 - 2 - 1 = 4 і a = 0,05 за таблицею розподілу Пірсона знаходимо: = 9,49.

Для обчислення фактичного значення критерію заповнимо таблицю:

У цій таблиці xi - кількість пригод за 1 день; mi - кількість днів, у які відбувалося xi. пригод. При рівні значущості a = 0,05 перевірити гіпотезу про те, що число дорожньо-транспортних пригод розподілено згідно із законом Пуассона.

xi - кількість пригод за 1 день;

mi - кількість днів, у які відбувалося xi. пригод;

n - загальна кількість днів спостережень, n = 365;

р i * - фактична відносна частота появи xi числа подій за 1 день;

- середнє число подій за рік;

- дисперсія числа подій за рік;

Нульова гіпотеза - Н0. F (x) = F теор (x), де F теор (x) - закон Пуассона; Альтернативна гіпотеза - Н1. F (x) ≠ F теор (x).

Основою для висунення нульової гіпотези служить рівність математичного очікування дисперсії розподіленої ознаки xi. = = # 955 ;. де: # 955; - параметр закону Пуассона.

У разі підтвердження такого властивості перевірка нульової гіпотези здійснюється за критерієм Пірсона: для q = k - m - 1 ступенів свободи, де k - число точок (інтервалів) за якими проводиться перевірка Н0. k = 8; m - число параметрів теоретичного розподілу, m = 1. Звідси: q = k-m-1 = 8-1-1 = 6.

Умова перевірки:> 0,05. де - значення, яке визначається по таблиці розподілу Пірсона для = 0,05 і q = 6. Звідси = 12,59.

Результати розрахунків занесемо в таблицю: