Приклади розв’язання задач - геометрія планиметрия в тезах і рішеннях

Приклади розв'язання задач

142. Знайдіть довжину кола, описаного навколо трапеції, сторони якої рівні а, а, а й 2а (рис. 200). (1)

Рішення. Легко бачити, що трапецію ABCD можна добудувати до правильного шестикутника (див. Рис.), Але у правильного шестикутника радіус описаного кола дорівнює стороні шестикутника: Rокр = а. Довжина кола l = 2? Rокр = 2? А.

143. Підстави трапеції рівні 4 см і 9 см, а діагоналі рівні 5 см і 12 см. Знайти площу трапеції і кут між її діагоналями (рис. 201). (2)

Рішення. Нехай ABCD - дана трапеція, CD = 4 см, АВ = 9 см, BD = 5 см і АС = 12 см. Щоб відомі елементи включити в один трикутник, перенесемо діагональ BD на вектор DC в положення СВ '. Розглянемо трикутник АСВ '. Так як ВВ'CD - паралелограм, то В'С = 5 см, АВ '= АВ + ВВ' = АВ + CD = 13 см. Тепер відомі всі три сторони трикутника АВ'С. Так як АС2 + В'С2 = (АВ ') 2 = 52+ 122 = 132, то трикутник АВ'С - прямокутний, причому? АСВ' = 90 °. Звідси безпосередньо випливає, що кут між діагоналями трапеції, дорівнює куту АСВ ', становить 90 °. Площа трапеції, як і будь-якого чотирикутника, дорівнює половині твори діагоналей на синус кута між ними. Звідси площа дорівнює 1 / 2AC. BD. sin 90 ° = 1/2. 12. 5. 1 = 30 см2.

Відповідь: 30 см2, 90 °.

144. Підстава АВ трапеції ABCD вдвічі довше підстави CD і вдвічі довше збоку AD. Довжина діагоналі АС дорівнює а, а довжина бокової сторони ВС дорівнює b. Знайти площу трапеції (рис. 202). (3)

Рішення. Нехай АВ = 2с, тоді CD = AD = с. Продовжимо бічні сторони ВС і AD до перетину їх в точці Е. Одержимо трикутник ВАЕ. Так як CD = 1 / 2АВ, то CD - середня лінія трикутника ABE. Звідси отримуємо, що РЄ = ВС = b і DE = AD = с. Вийшло, що АВ = АЕ. Отже, трикутник ВАЕ рівнобедрений і АС - його медіана. Але в трикутник медіана, проведена до основи, є висотою, тому площа трикутника ВАЕ можна обчислити так:

Далі, т. К. Трикутники DCE і ABE подібні з коефіцієнтом подібності k = 1/2, то площа трикутника DCE дорівнює 1/4 площі трикутника ABE (відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності). Площа трапеції, таким чином, дорівнює 3/4 площі трикутника ABE, тобто дорівнює 3 / 4аb

145. Усередині рівностороннього трикутника ABC дана точка М, така, що АМ = 1, ВМ =? 3 і СМ = 2. Знайти довжину АВ (рис. 203). (3)

Рішення. Повернемо трикутник АСМ навколо точки С на 60 °. Тоді точка А перейде в точку В, точка М - в деяку точку D, трикутник АСМ - в трикутник BCD. При цьому CD = СМ і? MCD = 60 °, отже, трикутник CDM - рівносторонній, а значить, і? CDM =? DMC = 60 °. За допомогою повороту отриманий допоміжний трикутник BDM. Зауважимо, що BD = AM = 1, ВМ =? 3, DM = CM = 2. Отже, трикутник BDM прямокутний (адже BM2 + BD2 = (? 3) 2 + 12 = DM2). DBM = 90 ° і? BMD = 30 ° (протилежний катет BD дорівнює половині гіпотенузи MD). Далі обчислимо кут ВМС. ВМС =? BMD +? DMC = 30 ° + 60 ° = 90 °. Застосувавши теорему Піфагора до трикутника ВСМ, знайдемо, що