Приклади рішень диференціальних рівнянь і систем

Тепер, коли ви навчилися знаходити похідні та інтеграли. саме час перейти до більш складної теми: рішенням диференціальних рівнянь (вони ж діфури, діффури і діф.ури :)), тобто рівнянь, які разом із самою функцією (і / або аргументом), містять і похідну або навіть кілька.

Як же вирішувати диференціальні рівняння? Головне, що знадобиться, це а) вміння правильно визначити тип диференціального рівняння і б) вміння добре інтегрувати - це істотна частина роботи.

У цьому розділі ви знайдете вирішені завдання на складання і рішення диференціальних рівнянь. Приклади рішень діфуров викладені безкоштовно для вашої зручності і відсортовані за темами - вивчайте, шукайте схожі, вирішуйте свої. Якщо вам потрібна допомога у виконанні завдань, перейдіть в розділ: контрольні з диференціальних рівнянь

Загальний інтеграл, сімейство кривих

Завдання 1. Показати, що функція $ y ^ 2-x ^ 2-Cy = 0 $ є загальним інтегралом диференціального рівняння $ y '(x ^ 2 + y ^ 2) -2xy = 0. $

Завдання 2. Скласти диференціальне рівняння сімейства кривих $ C_1 x + (y-C_2) ^ 2 = 0. $

Рішення диференціальних рівнянь першого порядку

Завдання 3. Знайти загальний розв'язок лінійного диференціального рівняння першого порядку $ xy '+ x ^ 2 + xy-y = 0. $

Завдання 4. Вирішити однорідне диференціальне рівняння $ y '= - y / x \ quad (x \ ne 0). $

Завдання 5. Вирішити диференціальне рівняння $ (y ^ 4-2x ^ 3y) dx + (x ^ 4-2xy ^ 3) dy = 0. $

Завдання 6. Вирішити однорідне диференціальне рівняння $ (2x + y + 1) dx + (x + 2y-1) dy = 0. $

Завдання 7. Вирішити лінійне диференціальне рівняння першого порядку $ y'-2xy = 3x ^ 2-2x ^ 4. $

Завдання 8. Вирішити диференціальне рівняння $ (x + y ^ 2) y '= y-1. $

Рішення задачі Коші для ДУ

Завдання 9. Вирішити диференціальне рівняння із перемінними $ (1 + x ^ 2) dy-2xydx = 0. $ Знайти приватне рішення, що задовольнить початковому умові $ y (0) = 1 $.

Завдання 10. Вирішити задачу Коші для диференціального рівняння другого порядку $ 2y y '' + 1 = (y ') ^ 2, \, y (1/3) = 1, \, y' (1/3) = 2 $.

Завдання 11. Знайти рішення задачі Коші для диференціального рівняння $$ y '= \ frac, y (1) = 1. $$

Завдання 12. Вирішити задачу Коші для диференціального рівняння третього порядку $$ y '' '= x + \ cos x, \ quad y (0) = 0, y' (0) = 0, y '' (0) = 0. $$

Вирішуємо диференціальні рівняння на замовлення

Рішення диференціальних рівнянь другого порядку

Завдання 13. Вирішити диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами $ y '' + 4y '+ 4y = xe ^. $

Завдання 14. Вирішити задачу Коші для диференціального рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами методом варіації: $$ y '' - 3y '= \ frac >>, \ quad y (0) = 4 \ ln 4, y' (0) = 3 (3 \ ln 4-1). $$

Рішення задач на складання диференціальних рівнянь

Завдання 15. Швидкість охолодження нагрітого тіла пропорційна різниці температур тіла і навколишнього середовища. За 10 хвилин тіло охололи від 100 до 60 градусів. Температура середовища постійна і дорівнює 20 градусам. Коли тіло охолоне до 25 градусів?

Завдання 16. Моторний човен рухається в спокійній воді зі швидкістю 5 м / сек. На повному ходу її мотор вимикається і через 40 сек після цього швидкість човна зменшується до 2 м / сек. Визначити швидкість човна через 2 хвилини після зупинки мотора, вважаючи, що опір води пропорційно швидкості руху човна.

Рішення нелінійних диференціальних рівнянь

Завдання 17. Вирішити диференціальне рівняння $ y ^ 2 ^ 2 -2xyy '+ 2y ^ 2-x ^ 2 = 0. $

Завдання 18. Вирішити диференціальне рівняння $ ^ 2-4xyy '+ 8y ^ 2 = 0. $