Потік вектора напруженості

Головна | Про нас | Зворотній зв'язок

Електричне поле можна задати, вказавши для кожної точки величину і напрямок вектора. Сукупність цих векторів утворює поле вектора напруженості електричного поля. Електричне поле можна описати за допомогою ліній напруженості (ліній), які проводяться так, щоб дотична до них в кожній точці співпадала з напрямком вектора. Густота ліній вибирається так, щоб кількість ліній, які пронизують одиницю поверхні перпендикулярної до ліній майданчика, було одно чисельним значенням вектора. Лінії точкового заряду представляють собою сукупність радіальних прямих, спрямованих від заряду, якщо він позитивний, і до заряду, якщо він від'ємний. Лінії одним кінцем спираються на заряд, одним ідуть у нескінченність. Покажемо це. Загальна кількість рядків N. перетинають сферичну поверхню довільного радіуса r. буде дорівнює добутку густини ліній на поверхню сфери 4pr 2. Густота ліній за умовою чисельно дорівнює

Отже, N чисельно дорівнює

тобто повне число ліній на будь-якій відстані від заряду буде один і той же. Отже, лінії ніде, крім заряду, не починаються і не закінчуються; вони, розпочавшись на заряді, йдуть в нескінченність, або, приходячи з нескінченності, закінчуються на заряді.

Оскільки густота ліній вибирається рівною чисельним значенням Е. кількість ліній, які пронизують майданчик dS. перпендикулярних буде чисельно дорівнює ЕdS. Якщо майданчик dS орієнтована так, що нормаль до неї утворює з вектором кут a, то кількість ліній, які пронизують майданчик, буде чисельно дорівнює ЕdS cos a = En dS. де En - складова вектора у напрямку нормалі до площадки.

Звідси для кількості ліній. пронизують довільну поверхню, виходить такий вираз:

Якщо є поле деякого вектора. то вираз. де Ап - складова вектора у напрямку нормалі до dS. називається потоком вектора через поверхню S.

Отже, потік вектора

чисельно дорівнює кількості ліній. пронизують поверхню S.

У попередньому розділі було показано, що навколишнє точковий заряд q сферичну поверхню будь-якого радіусу r перетинає ліній. Звідси випливає, що з точкового заряду виходить ліній.

Потік вектора через деяку поверхню чисельно дорівнює кількості ліній. перетинають цю поверхню. Отже, потік вектора через що охоплює заряд сферичну поверхню дорівнює. Знак потоку збігається зі знаком заряду.

Чи не сферична поверхня без «зморшок» перетинається кожною лінією тільки один раз. Тому кількість перетинів дорівнює кількості ліній, що виходять з заряду, тобто .

Якщо поверхня з «зморшками», то кількість перетинів може бути тільки непарних і тому протилежні вклади, внесені в загальний потік

Мал. 13.3. взаємно знищуються, за

Таким чином, для будь-якої форми замкнутої поверхні, що охоплює точковий заряд q. потік вектора крізь цю поверхню дорівнює.

Нехай всередині деякої замкнутої поверхні укладено кілька точкових зарядів довільний знаків: q1, q2 і т.д. Потік вектора за визначенням дорівнює

(Гурток у знака інтеграла вказує на те, що інтегрування проводиться по замкнутій поверхні).

В силу принципу суперпозиції полів

Підставивши це в вираз для потоку, отримаємо

де - нормальна складова напруженості поля, створюваного i -м зарядом окремо.

Доведене твердження називається теоремою Гаусса. Ця теорема може бути сформульована таким чином: потік вектора напруженості електричного поля через замкнену поверхню дорівнює алгебраїчній сумі укладених усередині цієї поверхні зарядів, поділеній на e0.

Якщо всередині поверхні заряди відсутні, потік дорівнює нулю.

Якщо заряд розподілений всередині замкнутої поверхні безперервно з об'ємною щільністю r. теорема Гаусса повинна бути записана наступним чином:

де інтеграл справа береться за обсягом V. охоплених поверхнею S.

Теорема Гаусса дозволяє знайти напруженість поля набагато простіше, ніж з використанням формули для напруженості поля точкового заряду і принципу суперпозиції.