Потенційний характер електростатичного поля
Робота в електростатичному полі
Зв'язок між напруженістю і потенціалом
план
Робота по переміщенню заряду в електростатичному полі
Потенційний характер електростатичного поля. Теорема про циркуляцію
потенціал
Зв'язок між напруженістю і потенціалом
Електричний диполь. енергія диполя
1. Робота по переміщенню заряду в електростатичному полі
Н
айдём роботу електростатичних сил по переміщенню точкового заряду q в електростатичному полі точкового заряду Q.
При переміщенні на малий вектор робота дорівнює:
так як проекція переміщення дорівнює (рис.11.1):.
За визначенням напруженості поля
Напруженість поля точкового заряду Q:
Обчислимо роботу при переміщенні заряду q від точки 1 до точки 2:
Згідно із законом збереження енергії робота здійснюється за рахунок зменшення потенційної енергії взаємодії зарядів:
тому можна з (11.3) отримати вираз для потенційної енергії взаємодії точкових зарядів у вакуумі:
Константу зручно вважати рівною нулю. так як на дуже великих відстанях заряди не взаємодіють: при повинно бути. Отже:
Зауваження до (11.5): якщо заряди мають однаковий знак, енергія їх взаємодії (відштовхування) позитивна, так як твір зарядів позитивно; при різнойменних зарядах енергія тяжіння виходить негативною.
2. Потенційний характер електростатичного поля. Теорема про циркуляцію
З (11.3) видно, що робота не залежить від траєкторії, а тільки від початкового і кінцевого положення заряду q. Такі поля називаються потенційними. Електростатичне поле потенційно. Потенційні поля тільки нерухомих зарядів.
Тут інтеграл береться по замкнутому контуру L. Оскільки і. то
Інтеграл в лівій частині (11.6) називається циркуляцією вектора напруженості. Контур L був довільним, тому доведена
теорема про циркуляцію. циркуляція вектора напруженості електростатичного поля по довільному замкненому контуру дорівнює нулю.
Для того, щоб векторне поле було потенційно, необхідно і достатньо, щоб циркуляція вектора напруженості поля по довільному замкненому контуру дорівнювала нулю, тобто:
Нагадаємо. що потенційні тільки поля нерухомих зарядів.
Введемо визначення потенціалу:
Потенціал даної точки поля - це енергія одиничного позитивного точкового пробного заряду, поміщеного в дану точку.
Якщо точковий заряд q помістити в точку поля. має потенціал. то енергія заряду буде дорівнює
Потенціал - скалярна енергетична характеристика поля. Так само як і потенційна енергія, потенціал визначається з точністю до постійного доданка. Зазвичай вважають, що. нескінченно віддалена від зарядів точка є початком відліку потенційної енергії. Потенціал поля на нескінченності теж дорівнює нулю. Але за початок відліку можна взяти будь-яку точку: важливо не абсолютне значення енергії або потенціалу, а зміна енергії в якомусь процесі; не абсолютне значення потенціалу, а різниця потенціалів двох точок поля.
Крім (11.7), є й інше визначення потенціалу (11.9): потенціал даної точки поля чисельно дорівнює роботі по переміщенню одиничного точкового пробного позитивного заряду з даної точки поля на нескінченність.
Розмірність потенціалу - вольт:
З (11.7) і (11.5) отримаємо вираз для потенціалу поля, створеного точковим зарядом Q на відстані r:
Для потенціалу справедливий принцип суперпозиції (11.11): потенціал. створений в даній точці системою зарядів qi. дорівнює сумі алгебри потенціалів, створених в даній точці кожним зарядом системи окремо.
Наприклад, для системи точкових зарядів на рис.11.2:
У разі безперервно розподілених зарядів
Тут інтеграл береться по всій області, де локалізовані заряди, а потенціал. створений майже точковим зарядом. локалізованим в елементарному малому обсязі. дорівнює
Енергія системи точкових зарядів може бути розрахована за формулою
де - сумарний потенціал. створений всіма зарядами системи, крім заряду. в точці, де знаходиться заряд. Наприклад, для системи, що складається з двох зарядів і. знаходяться на відстані r один від одного:
. де - потенціал. створений ДРУГИМ зарядом там, де знаходиться перший, а - потенціал. створений ПЕРШИМ зарядом там, де знаходиться другий; тоді
4. Зв'язок між напруженістю і потенціалом
Робота по переміщенню заряду q на вектор в поле напруженістю дорівнює.
Робота відбувається за рахунок зменшення потенційної енергії:
Звідси отримаємо, що напруженість поля - це градієнт потенціалу:
Нагадаємо. що градієнт - це вектор, проекції якого на координатні осі дорівнюють приватним похідним скалярного поля (в даному випадку - потенціалу) за відповідною координаті:
Вектор градієнта спрямований в бік найбільшого зростання величини. Оскільки в (11.18) стоїть знак «-», то напруженість спрямована в бік наібистрейшего убування потенціалу. Це зрозуміло, тому що сила, яка діє на позитивний заряд, спрямована по полю; позитивний заряд переноситься полем туди. де потенціал менше.
Формула (11.18) дає зв'язок напруженості і потенціалу в диференціальному вигляді. Отримаємо цей зв'язок в інтегральному. Для цього знайдемо роботу по переміщенню заряду з точкт 1 в точку 2. З одного боку, з (11.4):
і визначення потенціалу:
отримаємо вираз для роботи сил поля, корисне при вирішенні завдань:
З іншого боку, робота сили при переміщенні заряду q дорівнює
де інтегрування ведеться по будь-якої лінії, що з'єднує точки 1 і 2. Тоді, прирівнявши праві частини (11.20) і (11.21), отримаємо:
Можна довести (11.22), інтегруючи (11.17) по довільному контуру (для зручності замінили на елемент довжини контура):
Якщо поле є однорідним () і направлено, наприклад. вздовж осі OX, то з (11.21):
Еквіпотенційної поверхнею називається сукупність точок простору, що мають однаковий потенціал:.
Лінії напруженості завжди перпендикулярні еквіпотенціальною поверхнею. При перенесенні заряду з даної еквіпотенційної поверхні робота силами поля відбуватися не повинна, так як різниця потенціалів в (11.20) дорівнює нулю. Отже, сила. а значить, і напруженість перпендикулярні траєкторії.
Еквіпотенціальні поверхні поля точкового заряду - концентричні сфери (ріс.11.3).
На рис.11.4 синім кольором зображені еквіпотенціальні поверхні для різних систем зарядів:
a - поле точкового позитивного заряду;
b - поле двох різнойменних зарядів;
c
- поле двох зарядів одного знака.
На рис.11.5 також зображено розподіл потенціалів поля двох різнойменних зарядів. На ріс.11.6 зображено поле зарядженого плоского конденсатора: пунктир - силові лінії поля, а еквіпотенціальні поверхні - суцільні лінії. Усередині конденсатора поле майже однорідно; Еквіпотенціальна поверхні - рівновіддалені один від одного площині, перпендикулярні силовим лініям.
5. Електричний диполь. енергія диполя
Визначення: електричним диполем називається система двох однакових за величиною протилежних за знаком точкових зарядів:
Плече диполя - вектор, що починається на негативному заряді і закінчується на позитивному.
Дипольний момент електричного диполя - вектор, що дорівнює добутку модуля заряду диполя на плече диполя
Помістимо диполь в однорідне електричне поле; - кут між вектором напруженості і дипольниммоментом (ріс.11.8). На заряди q і -q будуть діяти сили, однакові за величиною
і протилежні за напрямком - це пара сил. Диполь в електричному полі орієнтується по полю. При момент сил теж.
В
ращаются момент пари сил дорівнює добутку сили на плече пари, тобто відстань між лініями сил:
Пара сил повертає диполь за годинниковою стрілкою на ріс.11.8. Напрямок вектора моменту пари можна визначити за правилом гвинта: спрямований від нас перпендикулярно площині малюнка. Остаточно в векторному вигляді:
Робота зовнішніх сил по повороту диполя на кут проти годинникової стрілки (ріс.11.8) дорівнює
і йде на збільшення енергії диполя в електричному полі:
так як . а й не залежать від кута (диполь вважаємо жорстким,).
Помістимо диполь внеоднородное електричне поле (ріс.11.9). Нехай кут. Тоді сила, що діє на позитивний заряд і спрямована по полю, більше, ніж діюча на негативний і спрямована проти поля, так як справа на ріс.11.9 поле сильніше:
В результаті виникла результуюча сила. спрямована по полю. Диполь втягується в область сильного поля, якщо.
І навпаки (ріс.11.10): якщо. то диполь виштовхується з області сильного поля.
Реально вільний диполь орієнтується по полю, а потім втягується в сильне поле.
Можна обчислити результуючу силу, діючу на диполь в електростатичному полі. У темі «Механіка» було показано, що
Так що якщо. то. Якщо поле посилюється уздовж осі OX. то проекція результуючої сили на вісь OX позитивна: