Поле (математика)

Визначення 1. Полем називається коммутативное асоціативне кільце з одиницею, в якому кожен відмінний від нуля елемент a має зворотний a -1 (aa -1 = a -1 a = 1).

Іншими словами полем називається безліч математичних об'єктів, в якому визначені два дії - "складання" і "множення", що відповідають таким вимогам:

1. a + b = b + a (комутативність складання).

2. (a + b) + c = a + (b + c) (асоціативність додавання).

3. Існує нульовий елемент 0 такий, що a + 0 = a. при будь-якому a.

4. Для будь-якого a існує протилежний елемент -a такий, що a + (- a) = 0.

5. (a + b) c = ac + bc (ліва дистрибутивность).

5 '. c (a + b) = ca + cb (права дистрибутивность).

6. (ab) c = a (bc) (асоціативність множення).

7. ab = ba (комутативність множення).

8. Існування одиничного елемента 1, тобто такого a · 1 = 1 · a = a. для будь-якого елемента a.

9. Для будь-якого елементу елемента a існує зворотний елемент a -1 такої, що aa -1 = a -1 a = 1.

• комплексні числа # 8450 ;,
• речові числа # 8477 ;,
• раціональні числа # 8474 ;,
• поле відрахувань по модулю p. де p - просте число.

Відзначимо, що цілі числа не утворюють поле, тому що пункт 9 не виконується.