Показники асиметрії - студопедія

Асиметрія і ексцес являютсяхарактерістікамі форми розподілу.

У практиці статистичного дослідження доводиться зустрічатися з різними розподілами. Ідеальним (нормальним) розподілом є таке, у якого розподіл ознаки в сукупності симетричне, при цьому мода і середня збігаються.

Однак найчастіше зустрічається асиметричне розподіл. При правобічної асиметрії, середня арифметична більше моди, а при лівосторонньої, навпаки.

Для оцінки ступеня асиметричності застосовують моментний і структурний коефіцієнт асиметрії.

Моментний коефіцієнт асиметрії обчислюється за формулою:

де - центральний момент третього порядку. визначається по

Структурні показники асиметрії характеризують асиметричність тільки в центральній частині розподілу, тобто основної маси одиниць.

Найбільш часто застосовують структурний коефіцієнт асиметрії, який визначається за формулою:

Якщо. асиметрія правостороння, якщо. асиметрія лівостороння.

Форми розподілу ознак в сукупності наведені на рис. 5.4.

Мал. 5.4. Форми розподілу ознак в сукупності

Іншим властивістю рядів розподілу є ексцес. Під ексцесом розуміють гостровершинності або плосковершіннсоть розподілу в порівнянні з нормальним розподілом, т. Е. Ексцес - це відхилення вершини емпіричного розподілу вгору або вниз від вершини кривої нормального розподілу.

Ексцес оцінюється за допомогою показника, представлено формулою:

де - центральний момент 4-го порядку, який визначається за

Розподіл гостровершинності володіє позитивним ексцесом (. А плосковершінних - негативним ексцесом

На рис. 5.5 представлено нормальне, гостровершинності і плосковершінних розподіл.

1 - нормальний розподіл

2 - гостровершинності розподіл

3 - плосковершінних розподіл

Мал. 5.5. Форми розподілу варіаційного ряду

Приклад 2. Для визначення середньої тривалості представлених міжміських розмов проведено вибіркове спостереження, до вибірки потрапило 340 розмов. Розподіл цих розмов по тривалості представлено у вигляді варіаційного ряду в таблиці 5.1. Визначити основні характеристики варіаційного ряду. Ряд зобразити графічно у вигляді гістограми.

Кіль- кість роз- рів m

Середина інтервалу x

Накоплен- ні частоти

1. Визначається середня тривалість міжміських розмов:

2. Розраховується мода, при цьому модальний інтервал 5-7:

Це означає, що більшість розмов має тривалість 6,4 хв.

3. Визначається медіана, для цього визначаються накопичені частоти.

Спочатку знаходиться наступне співвідношення:

Порівнюючи його з накопиченими частотами, можна сказати, медіальний інтервал буде дорівнює 5-7 хв.

Таким чином, половина розмов має тривалість до 6,6 хв. а половина більше.

4. Розмах коливань буде дорівнює:

при цьому перший і останній інтервал закриваються.

5. Середнє квадратичне відхилення складе:

6. Коефіцієнт варіації:

В середньому тривалість кожної розмови відхиляється від середнього значення на 3 хв. або на 44%. Сукупність неоднорідна, так як 33%, а середня не типова для даної сукупності.

7. Коефіцієнт асиметрії:

Так як . це означає, що розподілу мають форму правобічної асиметрії.

Розраховується ексцес, але спочатку визначається момент 4-го порядку:

9. Ексцес буде дорівнює:

Це означає, що розподіл плосковершінних. Графічне зображення ряду представлено на рис. 5.6.