Похідна складної функції

Всі приклади цього розділу спираються на таблицю похідних і теорему про похідну складної функції, формулювання якої така:

Нехай 1) функція $ u = \ varphi (x) $ має в деякій точці $ x_0 $ похідну $ u _ '= \ varphi' (x_0) $, 2) функція $ y = f (u) $ має у відповідній точці $ u_0 = \ varphi (x_0) $ похідну $ y _ '= f' (u) $. Тоді складна функція $ y = f \ left (\ varphi (x) \ right) $ в згаданій точці також матиме похідну, що дорівнює добутку похідних функцій $ f (u) $ і $ \ varphi (x) $:

$$ \ left (f (\ varphi (x)) \ right) '= f _' \ left (\ varphi (x_0) \ right) \ cdot \ varphi '(x_0) $$

або, в більш короткій записи: $ y _ '= y _' \ cdot u _ '$.

У прикладах цього розділу всі функції мають вигляд $ y = f (x) $ (тобто розглядаємо лише функції однієї змінної $ x $). Відповідно, у всіх прикладах похідна $ y '$ береться за змінної $ x $. Щоб наголосити на тому, що похідна береться за змінної $ x $, часто замість $ y '$ пишуть $ y'_x $.

У прикладах №1, №2 та №3 викладено детальний процес знаходження похідної складних функцій. Приклад №4 призначений для більш повного розуміння таблиці похідних та з ним має сенс ознайомитися.

Бажано після вивчення матеріалу в прикладах №1-3 перейти до самостійного вирішення прикладів №5, №6 та №7. Приклади №5, №6 і №7 містять короткий рішення, щоб Новомосковсктель міг перевірити правильність свого результату.

Знайти похідну функції $ y = e ^ $.

Нам потрібно знайти похідну складної функції $ y '$. Так як $ y = e ^ $, то $ y '= \ left (e ^ \ right)' $. Щоб знайти похідну $ \ left (e ^ \ right) '$ використовуємо формулу №6 з таблиці похідних. Щоб використовувати формулу №6 потрібно врахувати, що в нашому випадку $ u = \ cos x $. Подальше рішення полягає в банальній підстановці в формулу №6 вираження $ \ cos x $ замість $ u $:

Тепер потрібно знайти значення виразу $ (\ cos x) '$. Знову звертаємося до таблиці похідних, вибираючи з неї формулу №10. Підставляючи $ u = x $ в формулу №10, маємо: $ (\ cos x) '= - \ sin x \ cdot x' $. Тепер продовжимо рівність (1.1), доповнивши його знайденим результатом:

Так як $ x '= 1 $, то продовжимо рівність (1.2):

Отже, з рівності (1.3) маємо: $ y '= - \ sin x \ cdot e ^ $. Природно, що пояснення і проміжні рівності зазвичай пропускають, записуючи знаходження похідної в один рядок, - як в рівність (1.3). Отже, похідна складної функції знайдена, залишилося лише записати відповідь.

Знайти похідну функції $ y = 9 \ cdot \ arctg ^ (4 \ cdot \ ln x) $.

Нам необхідно обчислити похідну $ y '= \ left (9 \ cdot \ arctg ^ (4 \ cdot \ ln x) \ right)' $. Для початку зазначимо, що константу (тобто число 9) можна винести за знак похідної:

$$ y '= \ left (9 \ cdot \ arctg ^ (4 \ cdot \ ln x) \ right)' = 9 \ cdot \ left (\ arctg ^ (4 \ cdot \ ln x) \ right) '\ tag $$

Тепер звернемося до вираження $ \ left (\ arctg ^ (4 \ cdot \ ln x) \ right) '$. Щоб вибрати потрібну формулу з таблиці похідних було легше, я представлю розглядається вираз в такому вигляді: $ \ left (\ left (\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ right) ^ \ right) '$. Тепер видно, що необхідно використовувати формулу №2, тобто $ \ Left (u ^ \ alpha \ right) '= \ alpha \ cdot u ^ \ cdot u' $. У цю формулу підставимо $ u = \ arctg (4 \ cdot \ ln x) $ і $ \ alpha = 12 $:

Доповнюючи рівність (2.1) отриманим результатом, маємо:

$$ y '= \ left (9 \ cdot \ arctg ^ (4 \ cdot \ ln x) \ right)' = 9 \ cdot \ left (\ arctg ^ (4 \ cdot \ ln x) \ right) '= 108 \ cdot \ left (\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ right) ^ \ cdot (\ arctg (4 \ cdot \ ln x)) '\ tag $$

У цій ситуації часто допускається помилка, коли вирішувач на першому кроці вибирає формулу $ (\ arctg \; u) '= \ frac \ cdot u' $ замість формули $ \ left (u ^ \ alpha \ right) '= \ alpha \ cdot u ^ \ cdot u '$. Справа в тому, що першою повинна знаходитися похідна зовнішньої функції. Щоб зрозуміти, яка саме функція буде зовнішньої для вираження $ \ arctg ^ (4 \ cdot 5 ^ x) $, уявіть, що ви вважаєте значення виразу $ \ arctg ^ (4 \ cdot 5 ^ x) $ при якомусь значенні $ x $. Спочатку ви порахуєте значення $ 5 ^ x $, потім помножите результат на 4, отримавши $ 4 \ cdot 5 ^ x $. Тепер від цього результату беремо арктангенс, отримавши $ \ arctg (4 \ cdot 5 ^ x) $. Потім будуємо отримане число в дванадцяту ступінь, отримуючи $ \ arctg ^ (4 \ cdot 5 ^ x) $. Остання дія, - тобто піднесення до степеня 12, - і буде зовнішньої функцією. І саме з неї слід починати знаходження похідної, що і було зроблено в рівність (2.2).

Тепер потрібно знайти $ (\ arctg (4 \ cdot \ ln x)) '$. Використовуємо формулу №19 таблиці похідних, підставивши в неї $ u = 4 \ cdot \ ln x $:

Трохи спростимо отриманий вираз, з огляду на $ (4 \ cdot \ ln x) ^ 2 = 4 ^ 2 \ cdot (\ ln x) ^ 2 = 16 \ cdot \ ln ^ 2 x $.

Рівність (2.2) тепер стане таким:

$$ y '= \ left (9 \ cdot \ arctg ^ (4 \ cdot \ ln x) \ right)' = 9 \ cdot \ left (\ arctg ^ (4 \ cdot \ ln x) \ right) '= \ \ = 108 \ cdot \ left (\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ right) ^ \ cdot (\ arctg (4 \ cdot \ ln x)) '= 108 \ cdot \ left (\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ right) ^ \ cdot \ frac \ cdot (4 \ cdot \ ln x) '\ tag $$

Залишилося знайти $ (4 \ cdot \ ln x) '$. Винесемо константу (тобто 4) за знак похідної: $ (4 \ cdot \ ln x) '= 4 \ cdot (\ ln x)' $. Для того, щоб знайти $ (\ ln x) '$ використовуємо формулу №8, підставивши в неї $ u = x $: $ (\ ln x)' = \ frac \ cdot x '$. Так як $ x '= 1 $, то $ (\ ln x)' = \ frac \ cdot x '= \ frac \ cdot 1 = \ frac $. Підставивши отриманий результат в формулу (2.3), отримаємо:

Нагадаю, що похідна складної функції найчастіше знаходиться в один рядок, - як записано в останній рівності. Тому при оформленні типових розрахунків або контрольних робіт зовсім не обов'язково розписувати рішення настільки ж докладно.

Для початку трохи перетворимо функцію $ y $, висловивши радикал (корінь) у вигляді ступеня: $ y = \ sqrt [7] = \ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ right) ^> $. Тепер приступимо до знаходження похідної. Так як $ y = \ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ right) ^> $, то:

Використовуємо формулу №2 з таблиці похідних. підставивши в неї $ u = \ sin (5 \ cdot 9 ^ x) $ і $ \ alpha = \ frac $:

$$ \ left (\ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ right) ^> \ right) '= \ frac \ cdot \ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ right) ^ - 1> (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x)) '= \ frac \ cdot \ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ right) ^> (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x)) '$$

Продовжимо рівність (3.1), використовуючи отриманий результат:

Тепер потрібно знайти $ (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x)) '$. Використовуємо для цього формулу №9 з таблиці похідних, підставивши в неї $ u = 5 \ cdot 9 ^ x $:

$$ (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x)) '= \ cos (5 \ cdot 9 ^ x) \ cdot (5 \ cdot 9 ^ x)' $$

Доповнивши рівність (3.2) отриманим результатом, маємо:

Залишилося знайти $ (5 \ cdot 9 ^ x) '$. Для початку винесемо константу (число $ 5 $) за знак похідної, тобто $ (5 \ cdot 9 ^ x) '= 5 \ cdot (9 ^ x)' $. Для знаходження похідної $ (9 ^ x) '$ застосуємо формулу №5 таблиці похідних, підставивши в неї $ a = 9 $ і $ u = x $: $ (9 ^ x)' = 9 ^ x \ cdot \ ln9 \ cdot x '$. Так як $ x '= 1 $, то $ (9 ^ x)' = 9 ^ x \ cdot \ ln9 \ cdot x '= 9 ^ x \ cdot \ ln9 $. Тепер можна продовжити рівність (3.3):

$$ y '= \ left (\ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ right) ^> \ right)' = \ frac \ cdot \ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ right ) ^> (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x)) '= \\ = \ frac \ cdot \ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ right) ^> \ cos (5 \ cdot 9 ^ x) \ cdot (5 \ cdot 9 ^ x) '= \ frac \ cdot \ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ right) ^> \ cos (5 \ cdot 9 ^ x) \ cdot 5 \ cdot 9 ^ x \ cdot \ ln9 = \\ = \ frac \ cdot \ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ right) ^> \ cdot \ cos (5 \ cdot 9 ^ x) \ cdot 9 ^ x. $$

Можна знову від ступенів повернутися до радикалам (тобто коріння), записавши $ \ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ right) ^> $ в вигляді $ \ frac >> = \ frac> $. Тоді похідна буде записана в такій формі:

Показати, що формули №3 і №4 таблиці похідних є окремий випадок формули №2 цієї таблиці.

У формулі №2 таблиці похідних записана похідна функції $ u ^ \ alpha $. Підставляючи $ \ alpha = -1 $ в формулу №2, отримаємо:

Так як $ u ^ = \ frac $ і $ u ^ = \ frac $, то рівність (4.1) можна переписати так: $ \ left (\ frac \ right) '= - \ frac \ cdot u' $. Це і є формула №3 таблиці похідних.

Знову звернімося до формули №2 таблиці похідних. Підставами в неї $ \ alpha = \ frac $:

Отримане рівність $ (\ sqrt) '= \ frac> \ cdot u' $ і є формула №4 таблиці похідних. Як бачите, формули №3 і №4 таблиці похідних виходять з формули №2 підстановкою відповідного значення $ \ alpha $.

Знайти $ y '$, якщо $ y = \ arcsin 2 ^ x $.

Знаходження похідної складної функції в даному прикладі запишемо без докладних пояснень, які були дані в попередніх завданнях.

Знайти $ y '$, якщо $ y = 7 \ cdot \ ln \ sin ^ 3 x $.

Як і в попередньому прикладі, знаходження похідної складної функції вкажемо без подробиць. Бажано записати похідну самостійно, лише звіряючись з вказаними нижче рішенням.

Відповідь. $ Y '= 21 \ cdot \ ctg x $.