погоджений фільтр

Існує великий клас завдань, в яких потрібно виявити сигнал, якщо форма його відома. До таких сигналів, в першу чергу, відносяться дискретні виконавчі сигнали. У цих випадках важливим параметром, що характеризує якість виявлення, є відношення сигналу до перешкоди. Лінійний фільтр, який максимізує це відношення, називається оптимальним узгодженим фільтром.

Нехай на вході фільтра діє сума сигналу і перешкоди. т. е. коливання

Корисний сигнал розглядається не як випадковий процес, а як функція відомої форми зі спектральною щільністю

де і - амплітудний і фазовий спектри сигналу. Перешкоду будемо вважати стаціонарним випадковим процесом типу білого шуму з рівномірною двосторонньої спектральної щільністю

Коефіцієнт передачі лінійного фільтра запишемо у вигляді

Сигнал на виході фільтра, очевидно, дорівнює сумі корисного сигналу і перешкоди:

Корисний сигнал на виході можна записати у вигляді

Пікова потужність сигналу в певний момент буде дорівнює:

а потужність перешкоди

Тоді перевищення сигналу над перешкодою в момент часу буде визначатися таким виразом:

Необхідно визначити, яким повинен бути коефіцієнт передачі фільтра, щоб відношення сигналу до перешкоди на його виході було максимальним. Відомо нерівність Буняковского - Шварца:

На підставі цієї нерівності отримуємо, що при будь-характеристиці фільтра відношення сигналу до перешкоди не може перевищувати максимального значення:

де - повна енергія сигналу. Зазначена в рівність (5.8) максимальна величина досягається в тому випадку, коли коефіцієнт передачі фільтра має такий вираз:

де - функція, комплексно сполучена зі спектром сигналу; - довільна постійна.

Вираз (5.9) можна записати у вигляді двох рівностей:

з яких випливає, що амплітудно-частотна характеристика узгодженого фільтра з точністю до постійного множника збігається з амплітудним спектром сигналу, а фазочастотная характеристика визначається фазовим спектром сигналу і лінійною функцією частоти. Таким чином, частотна характеристика узгодженого фільтра повністю визначається спектром сигналу, "узгоджена" з ним.

Фаза сигналу на виході узгодженого фільтра з урахуванням (5.10) буде дорівнює:

При. тобто в момент . все гармонійні складові сигналу мають однакову фазу і складаються арифметично, утворюючи в цей момент пік сигналу на виході фільтра. Спектральні ж складові перешкоди на виході фільтра мають випадкову фазу. Цим і пояснюється доведене вище положення про те, що узгоджений фільтр максимізує відношення сигналу до перешкоди на виході.

Як приклад розглянемо побудову узгодженого фільтра для прямокутного імпульсу, заданого у вигляді:

Спектр такого імпульсу, як відомо,

На підставі (5.9) коефіцієнт передачі узгодженого фільтра буде

Відомо, що множення на в частотної області відповідає інтегруванню в межах від до в тимчасовій області, а множення на відповідає затримці сигналу на час.

Отже, фільтр з коефіцієнтом передачі (5.11) складається з інтегратора І. включає в себе додатково масштабуючий підсилювач з коефіцієнтом посилення. лінії затримки на час Т з коефіцієнтом передачі і віднімає пристрою В (рис. 5.1, а).