Побудова вписаного в коло правильного п’ятикутника
Побудова правильних багатокутників
Побудова вписаного в коло правильного шестикутника. Побудова шестикутника засноване на тому, що сторона його дорівнює радіусу описаного кола. Тому для побудови достатньо розділити окружність на шість рівних частин і з'єднати знайдені точки між собою (фіг. 60, а).
Правильний шестикутник можна побудувати, користуючись рейсшиною і косинцем 30X60 °. Для виконання цієї побудови приймаємо горизонтальний діаметр окружності за бісектрису кутів 1 і 4 (фіг. 60, б), будуємо боку 1 -6, 4-3, 4-5 і 7-2, після чого проводимо боку 5-6 і 3 2.
Побудова вписаного в коло рівностороннього трикутника. Вершини такого трикутника можна побудувати за допомогою циркуля і косинця з кутами в 30 і 60 ° або тільки одного циркуля.
Розглянемо два способи побудови вписаного в коло рівностороннього трикутника.
Перший спосіб (фіг. 61, a) заснований на тому, що всі три кути трикутника 7, 2, 3 містять по 60 °, а вертикальна пряма, прове-дённая через точку 7, є одночасно висотою і бісектрисою кута 1. Так як кут 0-1-2 дорівнює 30 °, то для знаходження сторони
1-2 досить побудувати по точці 1 і стороні 0-1 кут в 30 °. Для цього встановлюємо рейсшини і косинець так, як це показано на фігурі, проводимо лінію 1-2, яка буде однією зі сторін шуканого трикутника. Щоб побудувати сторону 2-3, встановлюємо рейсшини в положення, показане штриховими лініями, і через точку 2 проводимо пряму, яка визначить третю вершину трикутника.
Другий спосіб заснований на тому, що, якщо побудувати правильний шестикутник, вписаний в коло, і потім з'єднати його вер-шини через одну, то вийде рівносторонній трикутник.
Для побудови трикутника (фіг. 61, б) намічаємо на діаметрі вершину-точку 1 і проводимо діаметральну лінію 1-4. Далі з точки 4 радіусом, рівним D / 2, описуємо дугу до перетину з колом в точках 3 і 2. Отримані точки будуть двома іншими вершинами шуканого трикутника.
Побудова квадрата, вписаного в коло. Це побудова можна виконати за допомогою кутника і циркуля.
Перший спосіб заснований на тому, що діагоналі квадрата перетинаються в центрі описаного кола і нахилені до його осях під кутом 45 °. Виходячи з цього, встановлюємо рейсшини і косинець з кутами 45 ° так, як це показано на фіг. 62, а, і відзначаємо точки 1 і 3. Далі через ці точки проводимо за допомогою рейсшини горизонтальні сторони квадрата 4-1 і 3-2. Потім за допомогою рейсшини по катету кутника проводимо вертикальні боку квадрата 1-2 і 4-3.
Другий спосіб заснований на тому, що вершини квадрата ділять навпіл дуги окружності, ув'язнені між кінцями діаметра (фіг. 62, б). Намічаємо на кінцях двох взаємно перпендикулярних діаметрів точки А, В і С і з них радіусом у описуємо дуги до взаємного їх перетину.
Далі через точки перетину дуг проводимо допоміжні прямі, відмічені на фігурі суцільними лініями. Точки їх перетнути-ня з окружністю визначать вершини 1 і 3; 4 і 2. Отримані таким чином вершини шуканого квадрата з'єднуємо послідовно між собою.
Побудова вписаного в коло правильного п'ятикутника.
Щоб вписати в коло правильний п'ятикутник (фіг. 63), виробляємо наступні побудови.
Намічаємо на колі точку 1 і приймаємо її за одну з вершин п'ятикутника. Ділимо відрізок АТ навпіл. Для цього радіусом АТ з точки А описуємо дугу до перетину з колом в точках M і В. Поєднавши ці точки прямої, отримаємо точку К, яку з'єднуємо потім з точкою 1. Радіусом, рівним відрізку A7, описуємо з точки До дугу до перетину з діаметральної лінією АТ в точці H. Поєднавши точку 1 з точкою H, отримаємо сторону п'ятикутника. Потім розчином циркуля, рівним відрізку 1H, описавши дугу з вершини 1 до перетину з колом, знайдемо вершини 2 і 5. Зробивши тим же розчином циркуля зарубки з вершин 2 і 5, отримаємо інші вершини 3 і 4. Знайдені точки послідовно з'єднуємо між собою.
