Побудова перетинів багатогранника на прикладі призми, соціальна мережа працівників освіти

Підписи до слайдів:

Побудова перерізів многогранників на прикладі ін ізми ® Творці. Антон Дмитрієв, Кірєєв Олександр. За сприяння: Гудкова Ольги Вікторівни

План уроку Алгоритми побудови перетинів Самоперевірка Демонстраційні завдання Завдання для закріплення матеріалу

Алгоритми побудови перетинів слідів паралельних прямих паралельного перенесення січною площині внутрішнього проектування комбінований метод доповнення n -угольной призми до трикутної призми Побудова перетину методом:

Побудова перетину методом слідів Основні поняття і вміння Побудова сліду прямої на площині Побудова сліду січної площини Побудова перетину

Алгоритм побудови перетину методом слідів З'ясувати чи є в одній грані дві точки перетину (якщо так, то через них можна провести сторону перетину). Побудувати слід перетину на площині підстави багатогранника. Знайти додаткову точку перетину на ребрі багатогранника (продовжити сторону підстави тієї межі, в якій є точка перетину, до перетину зі слідом). Через отриману додаткову точку на сліді і точку перетину в обраної грані провести пряму, відзначити точки перетину її з ребрами межі. Виконати п.1.

Побудова перетину призми Двох точок що належать одній грані немає. Точка R лежить в площині підстави. Знайдемо слід прямий KQ на площині підстави: - KQ ∩K1Q1 = T1, T1R- слід перетину. 3. T1R ∩CD = E. 4. Проведемо EQ. EQ∩DD1 = N. 5. Проведемо NK. NK ∩AA1 = M. 6. З'єднуємо M і R. Побудувати переріз площиною α. що проходить через точки K, Q, R; K є ADD1, Q є CDD1, R є AB.

Метод паралельних прямих В основу методу покладено властивість паралельних площин: «Якщо дві паралельні площини пересічені третьої, то лінії їх перетину паралельні. Основні вміння і поняття Побудова площині паралельної даної Побудова лінії перетину площин Побудова перетину

Алгоритм побудови перетину методом паралельних прямих. Будуємо проекції точок, що визначають перетин. Через дві дані точки (наприклад P і Q) і їх проекції проводимо площину. Через третю точку (наприклад R) будуємо паралельну їй площину α. Знаходимо лінії перетину (наприклад m і n) площині α з гранями багатогранника містять точки P і Q. Через точку R проводимо пряму а паралельну PQ. Знаходимо точки перетину прямої а з прямими m і n. Знаходимо точки перетину з ребрами відповідної межі.

(ПРИЗМА) Будуємо проекції точок P і Q на площині верхнього і нижнього підстав. Проводимо площину P1Q1Q2P2. Через ребро, що містить точку R, проводимо площину α паралельну P1Q1Q2. Знаходимо лінії перетину площин ABB1 і CDD1 з площину α. Через точку R проводимо пряму a || PQ. a∩n = X, a∩m = Y. XP∩AA1 = K, XP∩BB1 = L; YQ∩CC1 = M, YQ∩DD1 = N. KLMNR - шукане перетин. Побудувати переріз площиною α. що проходить через точки P, Q, R; P є ABB1, Q є CDD1, R є EE1.

Метод паралельного переносу січної площини Будуємо допоміжне перетин даного багатогранника, яке задовольняє наступним вимогам: воно паралельно січної площини; в перетині з поверхнею даного багатогранника утворює трикутник. З'єднуємо проекцію вершини трикутника з вершинами тієї межі багатогранника, яку перетинає допоміжне перетин, і знаходимо точки перетину зі стороною трикутника, що лежить в цій межі. З'єднуємо вершину трикутника з цими точками. Через точку шуканого перетину проводимо прямі паралельні побудованим відрізкам в попередньому пункті і знаходимо точки перетину з ребрами многогранника.

ПРИЗМА R є AA1, P є EDD1, Q є CDD1. Побудуємо допоміжний перетин AMQ1 || RPQ. Проведемо AM || RP, MQ1 || PQ, AMQ1∩ABC = AQ1. P1- проекція точок Р і М на АВС. Проведемо Р1В і Р1С. Р1В∩ AQ1 = O1, P1C ∩ AQ1 = O2. Через точку Р проведемо прямі m і n відповідно паралельні МО1 і МО2. m∩BB1 = K, n∩CC1 = L. LQ∩DD1 = T, TP∩EE1 = S. RKLTS - шукане перетин Побудувати переріз призми площиною α. що проходить через точки P, Q, R; P є EDD1, Q є CDD1, R є AA1.

Алгоритм побудови перетину методом внутрішнього проектування. Побудувати допоміжні перетину і знайти лінію їх перетину. Побудувати слід перетину на ребрі багатогранника. Якщо точок перетину не вистачає для побудови самого перетину повторити пп.1-2.

Побудова допоміжних перетинів. ПРИЗМА Паралельне проектування.

Побудова сліду перетину на ребрі

Комбінований метод. Через другу пряму q і якусь точку W першої прямої р провести площину β. У площині β через точку W провести пряму q 'паралельну q. Пересічними прямими p і q 'визначається площину α. Безпосереднє побудова перетину многогранника площиною α Суть методу полягає в застосуванні теорем про паралельність прямих і площин в просторі в поєднанні з аксіоматичним методом. Застосовується для побудови перетину многогранника з умовою паралельності. 1. Побудова перетину многогранника площиною α. що проходить через задану пряму p паралельно інший заданої прямої q.

ПРИЗМА Побудувати переріз призми площиною α. що проходить через пряму PQ паралельно AE1; P є BE, Q є E1C1. 1. Проведемо площину через пряму AE1 і точку P. 2. В площині AE1P через точку P проведемо пряму q 'паралельну AE1. q'∩E1S '= K. 3. пересічних прямих PQ і PK визначається шукана площину α. 4. P1 і K1- проекції точок Р і К на А1У1С1. P1K1∩PK = S ". S "Q∩E1D1 = N, S" Q∩B1C1 = M, NK∩EE1 = L; MN∩A1E1 = S " ', S"' L∩AE = T, TP∩BC = V. TVMNL-шукане перетин.

Метод доповнення n -угольной призми (піраміди) до трикутної призми (піраміди). Дана призма (піраміда) добудовується до трикутної призми (піраміди) з тих граней на бічних ребрах або гранях якої лежать точки, що визначають шукане перетин. Будується перетин отриманої трикутної призми (піраміди). Шукане перетин виходить як частина перетину трикутної призми (піраміди).

Основні поняття і вміння Побудова вспомогатель- них перетинів Побудова сліду перетину на ребрі Побудова перетину Центральне проектування Паралельне проектування

ПРИЗМА Q є BB1C1C, P є AA1, R є EDD1E1. Добудовуємо призму до трикутної. Для цього продовжимо боку нижньої основи: AE, BC, ED і верхнього підстави: A 1 E 1. B 1 C 1. E 1 D 1. AE ∩BC = K, ED∩BC = L, A1E1∩B1C1 = K1, E1D1 ∩B1C1 = L1. Будуємо перетин отриманої призми KLEK1L1E1 площиною PQR. використовуючи метод внутрішнього проектування. Це перетин є частиною шуканого. Будуємо шукане перетин.

Правило для самоконтролю Якщо багатогранник опуклий, то перетин опуклий багатокутник. Вершини багатокутника завжди лежать на ребрах многогранника. Якщо точки перетину лежать на ребрах многогранника, то вони є вершинами багатокутника, який вийде в перерізі. Якщо точки перетину лежать на гранях багатогранника, то вони лежать на сторонах багатокутника, який вийде в перерізі. Дві сторони багатокутника, який вийде в перерізі, не можуть належати одній грані багатогранника. Якщо перетин перетинає дві паралельні грані, то і відрізки (сторони багатокутника, який вийде в перетині) будуть паралельні.

Базові завдання на побудову перерізів багатогранників Якщо дві площини мають дві спільні точки, то пряма, проведена через ці точки, є лінією перетину цих площин. M є AD, N є DCC1, D1; ABCDA1B1C1D1- куб M є ADD1, D1 є ADD1, MD1. D1 є D1DC, N є D1DC, D1N ∩ DC = Q. M є ABC, Q є ABC, MQ. II. Якщо дві паралельні площини пересічені третьої, то лінії їх перетину паралельні. M є CC1, AD1; ABCDA1B1C1D1- куб. MK || AD1, K є BC. M є DCC1, D1 є DCC1, MD1. A є ABC, K є ABC, AK.

III. Загальна точка трьох площин (вершина тригранного кута) є спільною точкою ліній їх парного перетину (ребер тригранного кута). M є AB, N є AA1, K є A1D1; ABCDA1B1C1D1- куб. NK∩AD = F1 - вершина тригранного кута утвореного площинами α. ABC, ADD1. F1M∩CD = F2 - вершина тригранного кута утвореного площинами α. ABC, CDD1. F1M ∩BC = P. NK∩DD1 = F3 - вершина тригранного кута утвореного площинами α. D1DC, ADD1. F3F2∩D1C1 = Q, F3F2∩CC1 = L. IV. Якщо площина проходить через пряму, паралельну іншій площині і перетинає її, то лінія перетину паралельна даній прямій. A1, C, α || BC1; ABCA1B1C1- призма. α∩ BCC1 = n, n || BC1, n∩BB1 = S. SA1∩AB = P. З'єднуємо A1, P і C.

V. Якщо пряма лежить в площині перетину, то точка її перетину з площиною грані багатогранника є вершиною тригранного кута, утвореного перетином, межею і допоміжної площиною, що містить дану пряму. M є A1B1C1, K є BCC1, N є ABC; ABCDA1B1C1- паралелепіпед. 1. Допоміжна площина MKK1: MKK1∩ABC = M1K1, MK∩M1K1 = S, MK∩ABC = S, S- вершина тригранного кута утвореного площинами. α. ABC, MKK1. 2. SN∩BC = P, SN∩AD = Q, PK∩B1C1 = R, RM∩A1D1 = L.

Завдання. На якому малюнку зображено перетин куба площиною ABC. Скільки площин можна провести через виділені елементи? Які аксіоми і теореми ви застосовували? Зробіть висновок, як побудувати перетин в кубі? Давайте згадаємо етапи побудови перетинів тетраедра (паралелепіпеда, куба). Які багатокутники можуть при цьому статися?