побудова графіків
Для того щоб дифференцируемая на інтервалі $ (a, b) $ функція $ f (x) $ строго зростала на цьому інтервалі, достатньо, щоб похідна $ f '(x) $ була строго позитивна всюди на $ (a, b), $ тобто $ F '(x)> 0, \, \, x \ in (a, b). $
Для того щоб дифференцируемая на інтервалі (a, b) функція $ f (x) $ зростала (не убуває) на цьому інтервалі, достатньо, щоб похідна $ f '(x) $ була позитивна всюди на $ (a, b), $ тобто $ F '(x) \ geq 0, \, \, x \ in (a, b). $
Аналогічно, условіемстрогого убування диференціюється $ f (x), \, \, x \ in (a, b) $ є умова $ f '(x)<0,\,\, x\in (a,b).$
Умовою зменшення (НЕ зростання) диференціюється $ f (x), \, \, x \ in (a, b) $ є умова $ f '(x) \ leq0, \, \, x \ in (a, b) . $
Нехай функція диференційована в деякому околі точки $ x_0, $ крім, можливо, самої точки $ x_0, $ в якій, проте функція $ f (x) $ неперервна. Тоді точка $ x_0 $ являетсяточкой строгогомаксімума. якщо існує околиця точки $ x_0 $ в якій $ f '(x)> 0 $ при $ x
Якщо ж $ f '(x)<0$ при $x
Визначення. Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму, а значення функції в цій точці - екстремумами.
Нехай функція $ f (x) $ неперервна на відрізку $ [a, b] $ і має на ньому $ k $ локальних максимумів в точках $ x_1, \, x_2. x_k. $ Тоді найбільше значеніефункціі $ f (x) $ на відрізку $ [a, b] $ одно найбільшому з чисел: $$ f (a,) \, f (x_1). f (x_k), f (b). $$
Аналогічно, якщо функція $ f (x) $ неперервна на відрізку $ [a, b] $ і має на ньому $ n $ локальних мінімумів в точках $ x_1 ', \, \, x_2'. x'_n, $ то її найменше значення на цьому відрізку одно найменшому з чисел: $$ f (a), \, f (x_1 '), f (x_2'). f (x_n '), f (b). $$
Для того, щоб функція $ f (x), $ двічі диференційована на інтервалі $ (a, b), $ була опуклою вниз на цьому інтервалі, необхідно і достатньо, щоб друга похідна $ f '' (x) $ була неотрицательна на $ (a, b), $ тобто $ f '' (x) \ geq 0, \, \, x \ in (a, b). $
Умова $ f '' (x)> 0, \, \, x \ in (a, b) - $ умова суворої опуклості вниз.
Якщо $ f '' (x) \ leq 0, \, \, x \ in (a, b) - $ функція опукла вгору. $ F '' (x)<0 -$ условие строгой выпуклости.
Якщо функція $ f (x) $ при переході через точку $ x_0 $ змінює напрямок опуклості, то точка $ x_0 $ називається точкою перегину.
Функція $ f (x) $ називається парної. якщо $ f (x) = f (-x); $
Функція $ f (x) $ називається непарної, якщо $ f (x) = - f (-x). $
Знаходження асимптот.
називається вертикальною асимптотой графіка.
Щоб пряма $ y = kx + b $ була асимптотой графіка функції $ y = f (x) $ при $ x \ rightarrow + \ infty \, \, \, $ при $ (x \ rightarrow - \ infty) $ необхідно і достатньо, щоб $$ \ lim \ limits_ \ frac = k \ quad \ left (\ lim \ limits_ \ frac = k \ right) $$
в разі горизонтальної асимптоти $ (k = 0) $ замість (1) маємо: для того щоб пряма $ y = b $ була горизонтальної асимптотой графіка функції $ y = f (x) $ при $ x \ rightarrow + \ infty $ (при $ x \ rightarrow- \ infty $) необхідно і достатньо, щоб
Побудова графіків.
При побудові графіка функції зручно дотримуватися такої схеми.
1. Знайти область визначення функції.
2. перевірити чи є функція парною, непарною, періодичною.
3. Знайти точки перетину графіка з осями координат, проміжки, де значення функції позитивні, негативні. Знайти точки розриву функції.
4. Знайти асимптоти графіка.
5. Обчислити першу похідну, визначити проміжки зростання і спадання функції. Знайти точки екстремуму.
6. Знайти другу похідну, знайти точки перегину графіка, проміжки опуклості вгору і вниз.
7. Намалювати графік функції.
Приклад повного дослідження функції та побудови графіка.
Провести повне дослідження функції та побудувати її графік.
1) Знайдемо область визначення функції, інтервали неперервності і точки розриву функції:
Область визначення . Ця функція, як елементарна, безперервна в кожній точці області визначення. Точка - точка розриву.
функція не є ні парною, ні непарною.
Функція не періодично.
Точки перетину з віссю Oy немає:.
Точка перетину з віссю Ox:. Тобто крива проходить через точку.
2) Знайдемо асимптоти графіка.
Вертикальні асимптоти можуть бути в точках розриву. Знайдемо односторонні межі функції в цій точці.
.
Таким чином обидва межі нескінченні і пряма є вертикальною асимптотой.
Похилі асимптоти задаються рівнянням, де
;
.
Таким чином, похилих асимптот функція не має.
3) Обчислимо похідну функції і знайдемо її інтервали монотонності і екстремуми.