Плоскі хвилі і фазова швидкість

Основна формула, яка визначає фазову швидкість (монохроматичної) хвилі в одновимірному просторі або фазову швидкість уздовж хвильового вектора для хвилі в просторі більшої розмірності:

яка є прямим наслідком того факту, що фаза плоскої хвилі в однорідному середовищі є

ф = ωt - kx для одновимірного випадку

або для розмірності, більшою одиниці.

Конкретне співвідношення між ω і k - так званий закон дисперсії для кожного конкретного типу хвиль отримують зазвичай з диференціального рівняння, що описує даний тип хвиль, підставляючи в нього монохроматичну (найчастіше плоску) хвилю

У разі, коли фазова швидкість не залежить для даного типу хвиль від частоти або хвильового числа (і напрямки хвильового вектора), тоді і групова швидкість збігається з нею.

Хвильовий пакет і групова швидкість

Монохроматична хвиля - це математична ідеалізація. Таких хвиль в природі немає. Будь-яка хвиля може представлена ​​як суперпозиція монохроматичних хвиль з різними амплітудами і частотами ω в інтервалі Δω. Суперпозицію хвиль, що відрізняються один від одного по частотах (Δω <<ω), называют волновым пакетом или группой волн. В пределах пакета монохроматические составляющие усиливают друг друга, вне пакета гасят друг друга.

У вакуумі все монохроматичні хвилі поширюються з однаковою фазовою швидкістю

З такою ж швидкістю поширюється в вакуумі і сам хвильовий пакет, не змінюючи своєї форми.

У диспергуюча середовищі хвильової пакет розпливається, оскільки швидкості його монохроматичних складових відрізняються один від одного.

Нехай дисперсія досить мала, розпливанню хвильового пакета відбувається не занадто швидко. Припишемо хвильовому пакету швидкість u, з якої переміщується «центр ваги» пакета. Тоді u - буде груповою швидкістю. тоді

На малюнку а) показано відносне розташування двох хвиль з однаковою амплітудою і дещо відмінним один від одного частотами. На рис. б) результат суперпозиції. Нас буде цікавити швидкість, з якою переміщається місце з

максимальною амплітудою це і буде швидкість хвильового пакета - групова швидкість.

Нехай рівняння цих монохроматичних хвиль мають вигляд:

Е 1 = A cos (ωt - kx);

E 2 = A cos [(ω + dω) t - (k + dk) x)]

В результаті їх накладення утворюється сумарна хвиля:

E = E 1 + E 2 = 2A cos ((tdω - xdk) / 2) cos (ωt - kx)

Цей вислів можна розглядати як рівняння моно-хроматичної хвилі, амплітуда якої змінюється за законом:

A 0 = | 2A cos ((tdω - xdk) / 2) |

Звідси випливає, що точки, відповідні, наприклад, максимуму амплітуди, рухаються по закону:

Звідки x = (dω / dk) t. Величина в дужках і є групова ско-кість.

Вираз для групової швидкості можна уявити в іншому вигляді.

u = d / dk (υk) = υ + kdυ / dk

Так як k = 2π / λ і dk = - (2π / λ 2) dλ, то перепишемо попередній вираз так:

Це і є формула Релея.

В області нормальної дисперсії (dυ / dλ> 0) групова швидкість u виявляється менше фазової швидкості υ. За відсутності дисперсії dυ / dλ = 0 группо-вая швидкість збігається з фазовою.

Знайдемо тепер групову швидкість υ гр хвилі де Бройля. За визначенням

Перетворюючи цей вислів, отримуємо:

υ гр = d (ħω) / d (ħk) = dE / dp

Зв'язок між E і p для частинки, відповідно до теорії відносності, визначається співвідношенням:

E 2 = p 2 c 2 + m 0 2 c 4

де m 0 - маса спокою частинки.

Диференціюючи цей вислів, знаходимо:

або dE / dp = pc 2 / E

υ гр = pc 2 / E = pc 2 / mc 2 = p / m = υ

тобто групова швидкість хвилі де Бройля υ гр дорівнює швидкості руху частинки υ.