Площа поверхні обертання - студопедія

Якщо дуга кривої, задана неотрицательной функцією. . обертається навколо осі Ox, то площа поверхні обертання обчислюється за формулою. де a і b - абсциси початку і кінця дуги.

Якщо дуга кривої, задана неотрицательной функцією. . обертається навколо осі Oy, то площа поверхні обертання обчислюється за формулою

де з і d - абсциси початку і кінця дуги.

Якщо дуга кривої задана параметричними рівняннями. . причому. то

Якщо дуга задана в полярних координатах. то

Приклад. Обчислимо площа поверхні, утвореної обертанням в просторі навколо осі частини лінії y =. розташованої над відрізком осі.

Так як . то формула дає нам інтеграл

Зробимо в останньому інтегралі заміну t = x + (1/2) і отримаємо:

У першому з дитинства інтегралів правій частині зробимо заміну z = t 2 -:

Для обчислення другого з інтегралів у правій частині позначимо його і проинтегрируем по частинах, отримавши рівняння для:

Переносячи в ліву частину і ділячи на 2, отримуємо

Додатки певного інтеграла до рішення деяких завдань механіки і фізики

Робота змінної сили. Розглянемо рух матеріальної точки вздовж осі OX під дією змінної сили f. залежної від положення точки x на осі, т.e. сили, що є функцією x. Тоді робота A. необхідна для переміщення матеріальної точки з позиції x = a в позицію x = b обчислюється за формулою:

Для обчислення сили тиску рідини використовують закон Паскаля. згідно з яким тиск рідини на площадку одно її площі S. помноженої на глибину занурення h. на щільність ρ і прискорення сили тяжіння g. тобто

1. Моменти і центри мас плоских кривих. Якщо дуга кривої задана рівнянням y = f (x), a ≤ x ≤ b, і має щільність. то статичні моменти цієї дуги Mx і My щодо координатних осей Ox і Oy рівні

моменти інерції IХ і Iу щодо тих же осей Ох і Оу обчислюються за формулами

а координати центру мас і - за формулами

де l - маса дуги, т. е.

Приклад 1. Знайти статичні моменти і моменти інерції щодо осей Ох і Оу дуги ланцюгової лінії y = chx при 0 ≤ x ≤ 1.

Якщо щільність не зазначена, передбачається, що крива однорідна і. Маємо: Отже,

Приклад 2. Знайти координати центру мас дуги окружності x = acost, y = asint, розташованої в першій чверті. маємо:

У додатках часто виявляється корисною наступна Теорема гульдена. Площа поверхні, утвореної обертанням дуги плоскої кривої навколо осі, що лежить в площині дуги і її не перетинає, дорівнює добутку довжини дуги на довжину окружності, описуваної її центром мас.

Приклад 3. Знайти координати центру мас півкола

Внаслідок симетрії. При обертанні півкола навколо осі Ох виходить сфера, площа поверхні якої дорівнює. а довжина півкола дорівнює па. По теоремі гульдена маємо 4

Звідси. тобто центр мас C має координати C.

2. Фізичні задачі. Деякі застосування певного інтеграла при вирішенні фізичних задач ілюструються нижче в прикладах.

Приклад 4. Швидкість прямолінійного руху тіла виражається формулою (м / с). Знайти шлях, пройдений тілом за 5 секунд від початку руху.

Так як шлях, пройдений тілом зі швидкістю v (t) за відрізок часу [t1. t2], виражається інтегралом

Приклад. Знайдемо площу обмеженою області, що лежить між віссю і лінією y = x 3 -x. оскільки

лінія перетинає вісь в трьох точка: x1 = -1, x2 = 0, x3 = 1.

Обмежена область між лінією і віссю проектується на відрізок. причому на відрізку. лінія y = x 3 - x йде вище осі (тобто лінії y = 0, а на - нижче. Тому площа області можна підрахувати так:

Приклад. Знайдемо площу області, укладеної між першим і другим витком спіралі Архімеда r = a (a> 0) і відрізком горизонтальної осі.

Перший виток спіралі відповідає зміні кута в межах від 0 до. а другий - від до. Щоб привести зміна аргументу до одного проміжку, запишемо рівняння другого витка спіралі у вигляді. . Тоді площа можна буде знайти за формулою, поклавши і:

Приклад. Знайдемо обсяг тіла, обмеженого поверхнею обертання лінії y = 4x - x 2 навколо осі (при).

Для обчислення об'єму тіла обертання застосуємо формулу

Приклад. Обчислимо довжину дуги лінії y = lncosx, розташованої між прямими і.

(Ми взяли в якості значення кореня. А не -cosx, оскільки cosx> 0 при. Довжина дуги дорівнює

Приклад. Обчислимо площу Q поверхні обертання, отриманої при обертанні дуги циклоїди x = t - sint; y = 1 - cost, при. навколо осі.