Певні інтеграли, оцінка інтеграла, інтеграл як функція верхньої межі

Теорема 11. Якщо безперервна функція f (x) для всіх x між a і b задовольняє нерівності | f (x) | ≤ K. то

Відзначимо, нарешті, що оскільки певний інтеграл є постійне число, цілком визначається межами інтегрування та підінтегральної функцією, то позначення змінної інтегрування ніякого значення мати не може, так що символи

означають одне і те ж число. Це корисно зіставити з тим, що у інтегралів невизначених справа йде не так. наприклад,

Тому, зводячи інтеграл

за допомогою підстановки sin x = z до інтеграла

ми повинні мати на увазі, що останній інтеграл дорівнює ні, а саме, з тим, щоб в цьому виразі замінити z на sin x.

Інтеграл, як функція верхньої межі

До сих пір розглядали властивості визначеного інтеграла, вважаючи межі інтегрування постійними. Тепер же розглянемо питання про те, як впливає зміна цих меж на величину інтеграла.

Нехай f (x) - безперервна функція, задана на проміжку [a. b]. Тоді вона буде безперервної і на всякому частковому проміжку [a. x], і можемо розглянути інтеграл

є функцією аргументу x (як вказувалося в кінці попереднього пункту, позначення змінної інтегрування не суттєво. Щоб не плутати цю змінну з межею інтегрування, позначаємо її через t).

рішення деяких завдань